高考数学知识要点:函数Word格式文档下载.doc
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掌握对数函数的概念、图像和性质.
版权所有(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
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02.函数知识要点
一、本章知识网络结构:
二、知识回顾:
(一)映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=(y)(yC)叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:
对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
⑵若当x1<
x2时,都有f(x1)>
f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7.奇函数,偶函数:
⑴偶函数:
设()为偶函数上一点,则()也是图象上一点.
偶函数的判定:
两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称,例如:
在上不是偶函数.
②满足,或,若时,.
⑵奇函数:
设()为奇函数上一点,则()也是图象上一点.
奇函数的判定:
①定义域一定要关于原点对称,例如:
在上不是奇函数.
8.对称变换:
①y=f(x)
②y=f(x)
③y=f(x)
9.判断函数单调性(定义)作差法:
对带根号的一定要分子有理化,例如:
在进行讨论.
10.外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如:
已知函数f(x)=1+的定义域为A,函数f[f(x)]的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是.
解:
的值域是的定义域,的值域,故,而A,故.
11.常用变换:
①.
证:
②
12.⑴熟悉常用函数图象:
例:
→关于轴对称.→→
→关于轴对称.
⑵熟悉分式图象:
定义域,
值域→值域前的系数之比.
(三)指数函数与对数函数
指数函数的图象和性质
a>
1
0<
a<
图
象
性
质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)x>
0时,y>
1;
x<
0时,0<
y<
1.
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算:
(以上)
(3)过点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)时
时y>
时
时
(5)在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
注⑴:
当时,.
⑵:
当时,取“+”,当是偶数时且时,,而,故取“—”.
中x>0而中x∈R).
⑵()与互为反函数.
当时,的值越大,越靠近轴;
当时,则相反.
(四)方法总结
⑴.相同函数的判定方法:
定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算:
⑵.函数表达式的求法:
①定义法;
②换元法;
③待定系数法.
⑶.反函数的求法:
先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法:
布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;
②偶次根式中被开方数不小于0;
③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;
④零指数幂的底数不等于零;
⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法:
①配方法(二次或四次);
②“判别式法”;
③反函数法;
④换元法;
⑤不等式法;
⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法:
①设x,x是所研究区间内任两个自变量,且x<x;
②判定f(x)与f(x)的大小;
③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法:
首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:
①f(-x)=f(x)为偶函数;
f(-x)=-f(x)为奇函数;
②f(-x)-f(x)=0为偶;
f(x)+f(-x)=0为奇;
③f(-x)/f(x)=1是偶;
f(x)÷
f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移:
①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;
②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;
③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
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