高考北京理科数学试题及答案word解析版Word下载.docx

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（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵，∴，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；

∵过原

点，∴，∴，．故必要性不成立，故选A．

（4）

【2013年北京，理4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

（A）1（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】依次执行的循环为，；

，；

，，故选C．

（5）

【2013年北京，理5，5分】函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】依题意，向右平移1个单位之后得到的函数应为，于是相当于向左平移1个单位的结果，∴，故选D．

（6）

【2013年北京，理6，5分】若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】由离心率为，可知，∴．∴渐近线方程为，故选B．

（7）

【2013年北京，理7，5分】直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积

等于（）

（A）（B）2（C）（D）

【解析】由题意可知，的方程为．如图，点坐标为，

∴所求面积，故选C．

（8）

【2013年北京，理8，5分】设关于，的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含上的点，只需要可行域的边界点在下方，也就是，即，故选C．

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：

共6小题，每小题5分，共30分．

（9）

【2013年北京，理9，5分】在极坐标系中，点到直线的距离等于．

【答案】

【解析】在极坐标系中，点对应直角坐标系中坐标为，直线对应直角坐标系中的方程为

，所以点到直线的距离为1．

（10）

【2013年北京，理10，5分】若等比数列满足，，则公比；

前项

和．

【答案】2；

【解析】由题意知．由，∴．∴．

（11）

【2013年北京，理11，5分】如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则________；

______．

【答案】，

【解析】设，则．由切割线定理可得，，即，

可得．∴，．在中，AB=．

（12）

【2013年北京，理12，5分】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．

【答案】96

【解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有（种）．

（13）

【2013年北京，理13，5分】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若

，则_______．

【答案】4

【解析】可设，，为单位向量且，则，．由，

∴，解得，∴．

（14）

【2013年北京，理14，5分】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为________．

【解析】过点作垂直底面，交于点，连接，过点作垂直于底面

，交于点，点到直线CC1的距离就是，故当垂直于时，

点到直线距离最小，此时，在中，，，

∴．

三、解答题：

共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）

【2013年北京，理15，13分】在中，，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

解：

（1）因为，，，所以在中，由正弦定理得．

所以．故．

（2）由

（1）知，cosA=，所以．又因为，所以．

．在中，．．

（16）

【2013年北京，理16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期

望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？

（结论不要求证明）

设表示事件“此人于3月日到达该市”．根据题意，，且．

（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．．

（2）由题意可知，所有可能取值为0,1,2，且；

；

．所以X的分布列为：

X

1

2

P

故X的期望．

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

（17）

【2013年北京，理17，14分】如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，，．

（1）求证：

平面；

（2）求证二面角的余弦值．

（3）证明：

在线段上存在点，使得，并求的值．

（1）因为为正方形，所以．因为平面平面，且垂直于这两个平面的交

线，所以平面．

（2）由

（1）知，．由题知，，，所以．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，

．设平面的法向量为，则，即．

令，则，，所以．同理可得，平面的法向量为．

所以cos〈n，m〉=．由题知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

（3）设是直线上一点，且，所以．

解得，，．所以．由，即，解得

．因为，所以在线段上存在点，使得．此时，．

（18）

【2013年北京，理18，13分】设为曲线在点处的切线．

（1）求的方程；

（2）证明：

除切点之外，曲线在直线的下方．

（1）设，则．所以．所以的方程为．

（2）令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于．

满足，且．当时，，，所以，

故单调递减；

当时，，，所以，故单调递增．

所以，．所以除切点之外，曲线在直线的下方．

（19）

【2013年北京，理19，14分】已知是椭圆上的三个点，是坐标原点．

（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．

（1）椭圆右顶点B的坐标为．因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分．

所以可设，代入椭圆方程得，即．

所以菱形的面积是．

（2）假设四边形为菱形．因为点不是的顶点，且直线不过原点，所以可设的方程为

．由，消并整理得．

设，，则，．

所以的中点为．因为为和的交点，所以直线的斜率为．

因为，所以与不垂直．所以不是菱形，与假设矛盾．

所以当点不是的顶点时，四边形不可能是菱形．

（20）

【2013年北京，理20，13分】已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．

（1）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的

值；

（2）设是非负整数，证明：

的充分必要条件为是公差为的等差数列；

若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

（1），．

（2）（充分性）因为是公差为的等差数列，且，所以．

因此，，．

（必要性）因为，所以．又因为，，所以．

于是，，，因此，即是公差为的等差数列．

（3）因为，，所以，．故对任意，．

假设中存在大于2的项．设为满足的最小正整数，则，并且对任意，

．又因为，所以，且．于是，，

．故，与矛盾．

所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1或2．

因为对任意，，所以．故．

因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为1．

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