高考数学分类汇编：数列Word格式.doc

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【答案】4

三、解答题

1、（2016年北京高考）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.

解：

（I）等比数列的公比，

所以，．

设等差数列的公差为．

因为，，

所以，即．

所以（，，，）．

（II）由（I）知，，．

因此．

从而数列的前项和

．

2、（2016年江苏省高考）

记.对数列和的子集T，若,定义;

若

，定义.例如：

时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意正整数，若，求证：

；

（3）设,求证：

（1）由已知得.

于是当时，.

又，故，即.

所以数列的通项公式为.

（2）因为，，

所以.

因此，.

（3）下面分三种情况证明.

①若是的子集，则.

②若是的子集，则.

③若不是的子集，且不是的子集.

令，则，，.

于是，，进而由，得.

设是中的最大数，为中的最大数，则.

由

（2）知，，于是，所以，即.

又，故，

从而，

故，所以，

即.

综合①②③得，.

3、（2016年山东高考）已知数列的前n项和，是等差数列，且.

（I）求数列的通项公式；

（II）令.求数列的前n项和.

【解析】

（Ⅰ）由题意得，解得，得到。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而

利用“错位相减法”即得

试题解析：

（Ⅰ）由题意当时，，当时，；

所以；

设数列的公差为，由，即，解之得，所以。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即

，所以，以上两式两边相减得。

所以

4、（2016年上海高考）对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：

①{}，{}均单调递增；

②且，则称{}与{}是无穷互补数列.

（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；

（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.

解析：

（1）因为，，所以，

从而与不是无穷互补数列．

（2）因为，所以．

数列的前项的和为

（3）设的公差为，，则．

由，得或．

若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；

若，则，，．

综上，，．

5、（2016年四川高考）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N+

（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2，

（Ⅰ）由已知，两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.

从而.

由成等差数列，可得，所以，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以双曲线的离心率.

由解得.所以，

6、（2016年天津高考）已知是等比数列，前n项和为，且.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.

（Ⅰ）解：

设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以.

（Ⅱ）解：

由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.

设数列的前项和为，则

7、（2016年全国I卷高考）已知是公差为3的等差数列，数列满足.

（I）求的通项公式；

（II）求的前n项和.

（I）由已知，得得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.

（II）由（I）和，得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则

8、（2016年全国II卷高考）等差数列{}中，.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意有，解得，

所以的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当1,2,3时，；

当4,5时，；

当6,7,8时，；

当9,10时，，

所以数列的前10项和为.

9、（2016年全国III卷高考）已知各项都为正数的数列满足，.

（I）求；

（II）求的通项公式.

10、（2016年浙江高考）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.

（I）求通项公式；

（II）求数列{}的前项和.

（1）由题意得：

，则，

又当时，由，

得，

所以，数列的通项公式为.

（2）设，，.

当时，由于，故.

设数列的前项和为，则.

当时，，

所以，.