高考理科数学一轮复习椭 圆Word下载.docx

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选B.因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

3．（2018·

湖北八校联考）设F1，F2分别为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　）

A.B．

C.D．

选B.由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝＝.又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝×

＝，故选B.

4．（2018·

湖南百校联盟联考）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为（　　）

选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC＝，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝.故选A.

5．（2018·

四川凉山州模拟）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是（　　）

选D.不妨令椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）．因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，

所以2b＝，即a＝3b，

则c＝＝2b，

则该椭圆的离心率e＝＝.故选D.

6．（2018·

贵阳模拟）若椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．

由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，

所以解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：

＋＝1

7．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．

因为|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.因为|F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝|PF1|·

|PF2|＝×

8×

6＝24.

24

8．（2018·

海南海口模拟）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（－c，0），右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为－，则该椭圆的离心率为________．

因为椭圆＋＝1（a＞b＞0），A，B和F1点坐标分别为（a，0），（0，b），（－c，0），所以直线BF1的方程是y＝x＋b，OT的方程是y＝－x.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为－.由AT⊥BF1得，－×

＝－1，∴3b2＝4ac＋c2，∴3（a2－c2）＝4ac＋c2，∴4e2＋4e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝.

9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．

（1）与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点（2，－）；

（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．

解：

（1）由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2（t1，t2＞0），因为椭圆过点（2，－），所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

（2）由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），由已知条件得

解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.

故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

10．（2018·

兰州市诊断考试）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，求点P的轨迹方程．

（1）因为e＝，所以＝，

又椭圆C经过点（，1），所以＋＝1，

解得a2＝4，b2＝2，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，

因为点M，N在椭圆＋＝1上，

所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，

故x2＋2y2＝（x＋4x1x2＋4x）＋2（y＋4y1y2＋4y）＝（x＋2y）＋4（x＋2y）＋4（x1x2＋2y1y2）＝20＋4（x1x2＋2y1y2）．

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，

kOM·

kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，

所以x2＋2y2＝20，

故点P的轨迹方程为＋＝1.

B级　能力提升练

11．（2018·

湖北八校第一次联考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（－5，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（　　）

A.＋＝1B．＋＝1

C.＋＝1D．＋＝1

选C.由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°

，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C.

12．（2018·

河南郑州质量预测）椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（　　）

选C.设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋（2－|ME|）＋（2－|NE|）．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝×

|MN|×

|EF|＝×

×

2＝，故选C.

13．（2018·

陕西部分学校一检）已知P为椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时，cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________．

易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.

14．（2018·

河南师大附中模拟）椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．

设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F＝，

∴|AF|＝|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为＝＝＝－1.

－1

15．已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|＝1，若动点P（x，y）满足＝2＋.

（1）求动点P的轨迹C的标准方程；

（2）直线l：

x＝ty＋1与曲线C交于A，B两点，E（－1，0），试问：

当t变化时，是否存在一条直线l，使△ABE的面积为2？

若存在，求出直线l的方程；

若不存在，说明理由．

（1）因为＝2＋，即（x，y）＝2（x0，0）＋（0，y0）＝（2x0，y0），所以x＝2x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝y，又|AB|＝1，所以x＋y＝1，即＋＝1，即＋＝1，所以动点P的轨迹C的标准方程为＋＝1.

（2）由方程组得（3t2＋4）y2＋6ty－9＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1y2＝－＜0，

所以|y1－y2|＝

＝＝.

因为直线x＝ty＋1过点F（1，0），所以S△ABE＝|EF||y1－y2|＝×

2×

＝，

令＝2，则t2＝－，不成立，故不存在满足题意的直线l.

16．（2018·

湖北部分重点中学起点考试）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（－1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在y轴上，是否存在定点E，使·

恒为定值？

若存在，求出E点的坐标和这个定值；

（1）由已知可得可得a2＝2，b2＝1，

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

（2）设过点D（0，2）且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋2，

由消去y整理得（1＋2k2）x2＋8kx＋6＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，

x1x2＝.

又y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝－，y1＋y2＝（kx1＋2）＋（kx2＋2）＝k（x1＋x2）＋4＝.

设存在点E（0，m），则＝（－x1，m－y1），＝（－x2，m－y2），

所以·

＝x1x2＋m2－m（y1＋y2）＋y1y2＝＋m2－m×

－＝.

要使·

＝t（t为常数），

只需＝t，

从而（2m2－2－2t）k2＋m2－4m＋10－t＝0，

即解得m＝，从而t＝，

故存在定点E，使·

恒为定值.

C级　素养加强练

17．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．

（1）若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；

（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

（1）由已知得b＝4，且＝，即＝，

∴＝，解得a2＝20，

∴椭圆方程为＋＝1.

则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，

消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，

∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.

（2）设椭圆右焦点F的坐标为（2，0），线段MN的中点为Q（x0，y0），

由三角形重心的性质知＝2，又B（0，4），∴（2，－4）＝2（x0－2，y0），故得x0＝3，y0＝－2，

即得Q的坐标为（3，－2）．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，

且＋＝1，＋＝1，

以上两式相减得

＋＝0，

∴kMN＝＝－·

＝－×

故直线MN的方程为y＋2＝（x－3），

即6x－5y－28＝0.