二次函数动态综合问题Word格式.docx

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5、易错点，常用解题方法和技巧

6、课堂总结，课下安排

必讲知识点

一、复习重要内容

二、梳理本节课重要知识：

当题目中出现动点时，学会解题思路“化动为静”，将动点的几种特殊的运动状态定格，

这样动点就不是动点了。

动点问题它通常分为三种类型：

动点问题、动线问题、动形问题。

在解这类问题时，

要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，

化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

例1：

动点问题

如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，

与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（）

A．－3B．1C．5D．8

例2、动线问题

如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3

个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行

移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线

EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积．

（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？

例3、动点与动线相结合

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，OC=8cm，

现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速

运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：

四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP

上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形

OPBQ分成两部分的面积之比．

例4、动形问题

如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R

在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方

向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：

（1）当t=3秒时，求S的值；

（2）当t=5秒时，求S的值；

（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

提示：

四种运动状态

三、例题精讲

例1、如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B

，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，

交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与

t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设

（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何

值时，四边形BCMN为平行四边形？

问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？

说明理由.

分析：

第

（1）根据A、B两点坐标，

用待定系数法易得。

第

（2）s即为线段MN的长度，因P

在OC上移动，

所以点N必在M的上方，所以s就是

N点的纵坐标减去M点

的纵坐标。

第（3）要四边形BCMN为平

行四边形，因BC∥MN，

只要BC∥MN即可；

平行四边形BCM

N是否为菱形，只要把

所求t的值代入，看邻边是否相等。

解

（1）把x=0代入，得

把x=3代入，得，

∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）

设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得

，解得

所以，

（2）把x=t分别代入到和

分别得到点M、N的纵坐标为和

∴MN=-（）=

即

∵点P在线段OC上移动，

∴0≤t≤3.

（3）在四边形BCMN中，∵BC∥MN

∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形

由，得

即当时，四边形BCMN为平行四边形

当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,

此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；

当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,

此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；

所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．

例2、如图，已知抛物线y＝a（x－1）2＋（a≠0）经过点A（－2，0），抛物线的顶点为D，过O作射

线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的

时间为t（s）．问：

当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？

直角梯形？

等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度

单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随

之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的

面积最小？

并求出最小值及此时PQ的长．

（2）关键是合理转化为相应线段之间的关系；

（3）把不规则最值

图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。

例2：

解：

（1）把A（－2，0）代入y＝a（x－1）2＋，得0＝a（－2－1）2＋．

∴a＝－

∴该抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋

即y＝－x2＋x＋．

（2）设点D的坐标为（xD，yD），由于D为抛物线的顶点

∴xD＝－＝1，yD＝－×

12＋×

1＋＝．

∴点D的坐标为（1，）．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°

∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．

∴OP＝6

∴t＝6（s）

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．

过点O作OE⊥AD轴于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°

，∴AE＝1．

（注：

也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．

∴t＝5（s）

③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．

∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、

等腰梯形．

（3）∵∠DAO＝60°

，OM∥AD，∴∠COB＝60°

．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．

∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）

过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t．

∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ

＝×

6×

－×

（6－2t）×

t

＝（t－）2＋

∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为．

此时OQ＝6－2t＝6－2×

＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．∴PQ＝＝＝

四、本节课重点、常见题型

本节课重点内容是二次函数图像与几何图形：

三角形，四边形的动点结合，是函数性质，图像的判定等综合问题。

1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=+1，

点C的坐标为（–4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，

AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上.

（1）写出点M的坐标；

（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.

①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：

2时，求t的值.

（2）有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另两边也平行的情况排除掉；

（3）因两边大小不定，要进行分类讨论，

解

（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，

∴A，B的横坐标分别是2和–2，

代入y=+1得，A（2,2），B（–2，2），

∴M（0，2）， 

（2）①过点Q作QH⊥x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，

由△HQP∽△OMC，得：

即：

t=x–2y,

∵Q（x,y）在y=+1上，∴t=–+x–2. 

当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=–4，解得x=1±

当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±

2

∴x的取值范围是x≠1±

且x≠±

2的所有实数. 

②分两种情况讨论：

1）当CM>

PQ时，则点P在线段OC上， 

∵CM∥PQ，CM=2PQ，

∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0，

∴t=–+0–2=–2 

. 

2）当CM<

PQ时，则点P在OC的延长线上，

∵CM∥PQ，CM=PQ，

∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2⨯2，解得：

x=±

. 

当x=–时，得t=–––2=–8–,当x=时，得t=–8. 

2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；

种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：

利润与投资量的

单位：

万元）

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？

他能获取的最大利润是多少？

六、课堂小结、课下安排

1、（2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）

A.最大值B..最大值C.最小值D.有最小值

2.（09洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价（元∕件）

与每天销售量（件）之间满足如图3-4-14所示关系．

（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；

（2）①