立体几何解题技巧及高考类型题老师专用Word格式文档下载.docx
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2、线面角[0，]，sin=或者解三角形；
3、二面角[0，]，cos或者找垂直线，解三角形。
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，证是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种：
一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。
【例题解析】
考点1点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.
典型例题1、（福建卷）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
A
B
C
D
A1
C1
B1
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
考查目的：
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，
点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
O
F
解：
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面， G
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点，，．
在正方形中，，平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由，得，
．
点到平面的距离为．
解法二：
在正三棱柱中，平面平面，
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
z
y
，，．
，，
，．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
x
，．，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
点到平面的距离．
小结：
本例（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；
解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这种方法.
考点2异面直线的距离
考查异目主面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.
典型例题2、已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.
思路启迪：
由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.
如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
为的中位线，∥∥面,
到平面的距离即为两异面直线间的距离.
又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是
AB、BC、BD的中点，
在Rt中，
又
由于，即，解得
故CD与SE间的距离为.
通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.
考点3直线到平面的距离
偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.
典型例题3．如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.
把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.
G
H
解法一∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求
点O平面的距离,
，，平面,
又平面
平面，两个平面的交线是,
作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.
在中，.
又.
即BD到平面的距离等于.
解法二∥平面，
上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则
当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；
解析二是等体积法求出点面距离.
考点4异面直线所成的角【重难点】
此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.
（1）求异面直线所成角的思路是：
通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识（余弦定理、正弦定理、射线定理（））求解，整个求解过程可概括为：
一找二证三求。
（2）求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角的范围是0°
＜≤90°
，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
方法总结：
直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法
典型例题4、长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。
选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念，熟练掌握异面直线所成角的求法。
分析：
构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
如图①连结B1C交BC1 于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。
连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE=∴∠BOE=
如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。
则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为。
解法三：
如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。
在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1 于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1 与BC1所成的角。
在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。
解法四：
如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，
∠DB1E=∴∠DB1E=。
解法五：
如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°
，C1E=3，
∠C1BE=，∴∠C1BE=。
在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。
解法六：
如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，∠C1BD2=－，
∴异面直线DB1与BC1所成的角是。
解法七：
如图⑦，连结DB、DC1，设异面直线DB1与BC1所成的角为，，而=（）=+
=〈，〉+〈，〉
∵ BB1∥DD1
∴〈，〉=〈，〉=∠D1DB1
∠D1DB1=
〈，〉=180°
－∠DB1C1
∵∠DB1C1=
∴〈，〉=－∠DB1C1=－
=7
∴=，
解法八：
如图⑧，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。
设和的夹角为，
则=
∴异面直线与所成的角为。
总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们学习的第一个空间角，它的求法体现了立体几何将空间图形问题化归为平面图形问题的基本思想。
典型例题5、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解法1：
平移法
设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE//D1B，所以∠C1OE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角△C1OE中
，所以异面直线所成的角为
解法2：
补形法
在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，，
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图2
解法3：
利用公式
设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是、1、2，则（注：
在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角为，，。
所以
解法4：
向量几何法：
设为空间一组基向量
解法5：
向量代数法：
以D为坐标原点，DC、DA、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（
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