普通高等学校招生全国统一考试文科数学.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文科数学
绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
考前须知：
1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2•答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1•集合A12,3,5,7,11,Bx|3x15，那么APB中元素的个数为
A•2
B•
3
C•4
D•
5
2•假设Z（1i）1i，
那么z=
A•1-i
B•
1+i
C•-i
D•
i
3•设一组样本数据
X1，X2
，，
xn的方差为,那么数据
10x1,10x2,-
••,10xn的方差为
A•
B•
C•1
D•
10
4•Logistic
K
炎累计确诊病例数l〔t〕〔t的单位：
天〕的Logistic模型：
l〔t〕=023〔t53〕，其中K为最大确诊病例数•当
1e
I〔t*时，标志着已初步遏制疫情，那么t*约为〔ln19沁3〕
A•60
B•
63
C
•66
D•
69
5.sin
sin（
n=1
，贝Usin（n=
3
6
1A•-
B•
C
2
D•
J
2
3
3
ACBC=1，那么点
2
6.在平面内，
A,
B是两个定点，C是动点，
假设
C的轨迹为
A•圆
B•
椭圆
C
•抛物线
D•
直线
2
7•设0为坐标原点，直线x=2与抛物线C：
y2pxp0交于D，E两点，假设0D丄0E，那么C的焦点坐标为
11
A•〔-，0〕B•〔，0〕C•〔1,0〕D•〔2，0〕
8.点〔0，1〕到直线ykX1距离的最大值为
9•如图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积是
4+42
10.设a=log32,
b=log53,
c=|，那么
A.aa11.在厶ABC中,
2
cosC=3，AC=4，
C.6+23
C.bBC=3，
那么tanB=
4+23
cA.,5
8.5
1
12.函数f（x）=sinx+，那么sinx
A.f（x）的最小值为2
B.f（x）的图像关于y轴对称
C.f（x）的图像关于直线x对称
D.f（x）的图像关于直线x:
对称
、填空题：
此题共4小题，每题5分，共20分。
xy0,
13.假设x,y满足约束条件2xy0,,那么z=3x+2y的最大值为
x1,
x2
14.设双曲线C:
-y
a
2
y_
b2
1（a>0,b>0）的一条渐近线为y=・.2x,那么C的离心率为
15.设函数f（x）
e卄e
.右f
（1）一，贝Va=
xa4
16.圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为
三、解答题：
共70分。
解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.〔12分〕
设等比数列｛an｝满足aa24,a3a8.
〔1〕求｛an｝的通项公式；
〔2〕记Sn为数列｛log3an｝的前nSrSmiSm3，求m.
18.〔12分〕
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表〔单位：
天〕：
、、锻炼人次
空气质量等级、一、
[0,200]
〔200,400]
〔400,600]
1〔优〕
2
16
25
2〔良〕
5
10
12
3〔轻度污染〕
6
7
8
4〔中度污染〕
7
2
0
〔1〕分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；
〔2〕求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕；
〔3〕假设某天的空气质量等级为1或2,那么称这天空气质量好〞；假设某天的空气质量等级为3或4,那么称
这天空气质量不好〞.根据所给数据，完成下面的2X2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认
为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次＜400
人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附:
K2〔ab〕〔咒〕咒〔bd〕
P〔K2沫〕
k
19.〔12分〕
如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DEED“,BF2FB“.证
明:
（1）当ABBC时，EFAC;
（2）点Ci在平面AEF内.
20.（12分）
函数f（x）x3kxk2.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）假设f（x）有三个零点，求k的取值范围.
21.（12分）
22i—
椭圆C:
xy21（0m5）的离心率为二5,A,B分别为C的左、右顶点.
25m24
（1）求C的方程；
（2）假设点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|,BPBQ，求△APQ的面积.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，那么按所做的第一题计分。
22.［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
一„x2tt2,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2（t为参数且t工1,）C与坐标轴交于A,B两
y2t+12
占
八、、■
（1）求|AB|;
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
23.［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
设a,b,c€R,a+b+c=0,abc=1.
（1）证明：
ab+bc+ca<0;
（2）用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，证明：
max{a,b,c}>3.4.
参考答案
选择题答案
一、选择题
1•B
2.D
3•C
4.C
5•B
6.A
7•B
8.B
9•C
10.A
11.C
12.D
非选择题答案
二、填空题
13.7
14・.3
15.1
16.2
3
三、解答题
17•解:
（1）
设｛an｝的公比为q，那么an
n1
aiq.由得
aia〔q4
a1q2a8
解得a1,q3.
所以｛an｝的通项公式为an=3n1.
（2）由（〔）知log3ann1.故Snn（n
2
由SmSm!
Sm3得m（m1）（m1）m（m3）（m2），即m25m60.
解得m1（舍去），m6.
18•解：
（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
（2）—天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1
（100203003550045）350•
100
（3）根据所给数据，可得22列联表：
人次＜400
人次＞400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
根据列联表得
2
K2100（3382237）5.820.
55457030
由于
3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.解：
〔1〕如图，连结BD,BiDi.因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD.
又因为BBi平面ABCD，于是ACBBi.所以AC平面BBDiD.
由于EF平面BBiDiD，所以EFAC.
a
（2）如图，在棱AA上取点G，使得AG2GA，连结GDi,FC,FG,
22
因为DiE-DDi,AG-AAi,DDi//AA，所以EDi//AG，于是四边形EDiGA为平行四边形，
33
故AE//GDi.
dd
因为BiFBBi,AGAA,BBi//AA，所以FG//ABi,FG//CDi，四边形FGDQi为平行
33
四边形，故GDi/FCi.
解：
（1）f（x）
3x2k.
当k=0时，f（x）
x3，故f〔x〕在〔，〕单调递增；
当k<0时，f（x）
3x2k
0，故f〔x〕在〔，
〕单调递增.
当k>0时，令f〔x〕
0,得x
子■当x（,
寺时，
f（x）
当x〔竺，〕时，f〔x〕
3
0.故f（x）在（
■3kx
T），
3k
（丁
减.
20.
是AE//FG.所以A,E,F,Ci四点共面，即点Ci在平面AEF内.
0；当x〔』,』〕时，f〔x〕0；
33
〕单调递增，在〔』,』〕单调递
33
〔2〕由〔i〕知，当k0时，f〔x〕在〔
〕单调递增，f〔x〕不可能有三个零点.
当k>0时，x=
此时，k1
空为f（x）的极大值点,
3
3k
3
x=』为f（x）的极小值点.
3
呼k1且f（k
1）
0,f（k
1）0,
3k
f（〒）0•
根据f（x）的单调性,
当且仅当
0
，即k2
0时，f（x）有三个零点，解得
44
k27•因此k的取值范围为（0,27）.
21•解：
（1）由题设可得
25m2
5
m2
25
16，
2
x
所以c的方程为25
2
L1
25
16
（2）设P（xp,yp）,Q（6,ya），根据对称性可设0，由题意知
yP0,
由可得B（5,0），直线BP的方程为y丄（x5），所以
yQ
|BP|yP.r,|BQ|.1
因为|BP||BQ|，所以yp1，将yp1代入C的方程，解得
Xp3或3.
由直线BP的方程得ya2或8.
所以点P,Q的坐标分别为R（3,1）Q（6,2）;F2（3,1）,Q2（6,8）.
IPQ1|
、.乔，直线RQ1的方程为y
3x，点A（5,0）到直线
RQ1的距离为一10，故△ARQ1的面
2
1
积为丄
2
IPQ2I
.130，直线F2Q2的方程为
7_x
9
10，点A到直线
3
F
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