电子科技大学自主招生数学试题及答案Word文档下载推荐.doc
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三动点D,E,M满足=t,=t,=t,t∈[0,1].（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围;
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.
y
x
O
M
D
A
B
C
－1
－2
1
2
E
6.
已知函数f（x）=kx3－3x2+1（k≥0）.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于0,求k的取值范围.
【参考答案】
1解:
（Ⅰ）记"
甲投进"
为事件A1,"
乙投进"
为事件A2,"
丙投进"
为事件A3,
则P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,
∴P（A1A2A3）=P（A1）·
P（A2）·
P（A3）=×
×
=
∴3人都投进的概率为
（Ⅱ）设“3人中恰有2人投进"
为事件B
P（B）=P（A2A3）+P（A1A3）+P（A1A2）
=P（）·
P（A2）·
P（A3）+P（A1）·
P（）·
P（）
=（1－）×
+×
（1－）×
（1－）=
∴3人中恰有2人投进的概率为
2.解:
（Ⅰ）f（x）=sin（2x－）+1－cos2（x－）
=2[sin2（x－）－cos2（x－）]+1
=2sin[2（x－）－]+1
=2sin（2x－）+1
∴T==π
（Ⅱ）当f（x）取最大值时,sin（2x－）=1,有2x－=2kπ+
即x=kπ+（k∈Z）∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,（k∈Z）}.
A1
B1
α
β
l
第2题解法一图
F
第2题解法二图
3.解法一:
（Ⅰ）如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,
∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,∴sin∠BAB1==.∴∠BAB1=45°
.
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1==,∴∠ABA1=30°
故AB与平面α,β所成的角分别是45°
30°
（Ⅱ）∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°
∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中,A1B===.由AA1·
A1B=A1F·
AB得A1F===,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==,∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二:
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图,建立坐标系,则A1（0,0,0）,A（0,0,1）,B1（0,1,0）,B（,1,0）.在AB上取一点F（x,y,z）,则存在t∈R,使得=t,即（x,y,z－1）=t（,1,－1）,∴点F的坐标为（t,t,1－t）.要使⊥,须·
=0,即（t,t,1－t）·
（,1,－1）=0,2t+t－（1－t）=0,解得t=,∴点F的坐标为（,－,）,∴=（,,）.设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,,）.∴=（,－,）.
又·
=（,－,）·
（,1,－1）=－－=0,∴⊥,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=====,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
4.解:
∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2）,②
由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1）,即（an+an－1）（an－an－1－5）=0
∵an+an－1>
0,∴an－an－1=5（n≥2）.
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.
5.解法一:
如图,（Ⅰ）设D（x0,y0）,E（xE,yE）,M（x,y）.由=t,=t,
知（xD－2,yD－1）=t（－2,－2）.∴同理.
∴kDE===1－2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].
（Ⅱ）∵=t∴（x+2t－2,y+2t－1）=t（－2t+2t－2,2t－1+2t－1）=t（－2,4t－2）=（－2t,4t2－2t）.∴,∴y=,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2（1－2t）∈[－2,2].
即所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[－2,2]
（Ⅰ）同上.
第5题解法图
（Ⅱ）如图,=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,
=+=+t=+t（－）=（1－t）+t,
=+=+t=+t（－）=（1－t）+t
=（1－t2）+2（1－t）t+t2.
设M点的坐标为（x,y）,由=（2,1）,=（0,－1）,=（－2,1）得
消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为:
6.解:
（I）当k=0时,f（x）=－3x2+1∴f（x）的单调增区间为（－∞,0],单调减区间[0,+∞）.
当k>
0时,f'
（x）=3kx2－6x=3kx（x－）
∴f（x）的单调增区间为（－∞,0],[,+∞）,单调减区间为[0,].
（II）当k=0时,函数f（x）不存在最小值.
当k>
0时,依题意f（）=－+1>
0,
即k2>
4,由条件k>
0,所以k的取值范围为（2,+∞）
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