届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词精选教案理Word文档下载推荐.docx

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假

2．全称量词和存在量词

量词名称

常见量词

符号表示

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

__∀__

存在量词

存在一个、至少一个、有些、某些等

__∃__

3．全称命题和特称命题

名称

形式　　

全称命题

特称命题

结构

对M中的任意一个x，有p（x）成立

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

简记

__∀x∈M，p（x）__

__∃x0∈M，p（x0）__

否定

__∃x0∈M__，¬

p（x0）

__∀x∈M__，¬

p（x）

4．含逻辑联结词命题的真假判断

（1）p∧q中一假则假，全真才真．

（2）p∨q中一真则真，全假才假．

（3）p与¬

p真假性相反．

5．必会结论

（1）“p∨q”的否定是“（¬

p）∧（¬

q）”；

“p∧q”的否定是“（¬

p）∨（¬

q）”．

（2）“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×

”）．

（1）命题“5>

6或5>

2”是假命题．（　×

　）

（2）p∧q为真的充分必要条件是p为真或q为真．（　×

（3）“长方形的对角线相等”是特称命题．（　×

（4）命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．（　×

解析　

（1）错误．命题p∨q中有一真，则p∨q为真．

（2）错误．p∧q为真，则p，q同时为真．

（3）错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全称命题．

（4）错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”．

2．下列命题中的假命题是（　C　）

A．∃x∈R，lgx＝0　　　B．∃x∈R，tanx＝1

C．∀x∈R，x3>

0　　　D．∀x∈R,2x>

解析　当x＝1时，lgx＝0；

当x＝时，tanx＝1，所以A项，B项均为真命题，显然D项为真命题．当x＝0时，x3＝0，所以C项为假命题，故选C．

3．已知命题p：

若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；

命题q：

若a>

b，则<

.给出下列四个命题：

①p且q；

②p或q；

③¬

p；

④¬

q.

其中真命题的个数是（　B　）

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

解析　∵命题p为真命题，q为假命题，∴p或q，¬

q为真命题，故选B．

4．已知命题p：

∃n∈N,2n>

1000，则¬

p为（　A　）

A．∀n∈N,2n≤1000　　　B．∀n∈N,2n>

1000

C．∃n∈N,2n≤1000　　　D．∃n∈N,2n<

解析　由于特称命题的否定是全称命题，因而¬

p：

∀n∈N,2n≤1000，故选A．

5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　A　）

A．（¬

q）　　　B．p∨（¬

q）

C．（¬

q）　　　D．p∨q

解析　因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则¬

p是“甲没有降落在指定范围”，¬

q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（¬

q），故选A．

一　含逻辑联结词命题的真假判断

（1）判断含有逻辑联结词命题真假的步骤：

①先判断简单命题p，q的真假．

②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．

（2）含逻辑联结词命题真假的等价关系：

①p∨q真⇔p，q至少有一个真⇔（¬

q）假．

②p∨q假⇔p，q均假⇔（¬

q）真．

③p∧q真⇔p，q均真⇔（¬

④p∧q假⇔p，q至少有一个假⇔（¬

⑤¬

p真⇔p假；

p假⇔p真．

【例1】

（1）已知命题p：

若x>

y，则－x<

－y；

y，则x2>

y2.在命题①p∧q；

②p∨q；

③p∧（¬

q）；

④（¬

p）∨q中，真命题是（　C　）

A．①③　　　B．①④　　　

C．②③　　　D．②④

（2）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件．

解析　

（1）当x>

y时，－x<

－y，故命题p为真命题，从而¬

p为假命题．当x>

y时，x2>

y2不一定成立，故命题q为假命题，从而¬

q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；

②p∨q为真命题；

q）为真命题；

p）∨q为假命题．

（2）p或q为真命题p且q为真命题；

p且q为真命题⇒p或q为真命题．

二　全称命题与特称命题

（1）全称命题与特称命题真假的判断方法：

命题名称

真假

判断方法一

判断方法二

所有对象使命题真

否定为假

存在一个对象使命题假

否定为真

存在一个对象使命题真

所有对象使命题假

（2）全称命题与特称命题的否定：

①否定量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．

②否定结论：

对原命题的结论进行否定．

【例2】

（1）（2017·

山东卷）已知命题p：

∀x>

0，ln（x＋1）>

0；

b，则a2>

b2.下列命题为真命题的是（　B　）

A．p∧q　　　B．p∧¬

C．¬

p∧q　　　D．¬

p∧¬

（2）命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是（　D　）

A．全等三角形的面积不一定都相等

B．不全等三角形的面积不一定都相等

C．存在两个不全等三角形的面积相等

D．存在两个全等三角形的面积不相等

0时，x＋1>

1，因此ln（x＋1）>

0，即p为真命题；

取a＝1，b＝－2，这时满足a>

b，显然a2>

b2不成立，因此q为假命题．易知B项为真命题．

（2）命题是省略量词的全称命题，故选D．

【例3】

（1）下列命题中的假命题是（　B　）

A．∀x∈R,2x－1>

0　　　B．∀x∈N*，（x－1）2>

C．∃x0∈R，lnx0<

1　　　D．∃x0∈R，tanx0＝2

（2）已知命题p：

0，x＋≥4；

∃x0∈（0，＋∞），2x0＝，则下列判断正确的是（　C　）

A．p是假命题　　　B．q是真命题

C．p∧（¬

q）是真命题　　　D．（¬

p）∧q是真命题

解析　

（1）因为2x－1>

0，对∀x∈R恒成立，所以A项是真命题；

当x＝1时，（x－1）2＝0，所以B项是假命题；

存在0<

x0<

e，使得lnx0<

1，所以C项是真命题；

因为正切函数y＝tanx的值域是R，所以D项是真命题．

（2）当x>

0时，x＋≥2＝4，p是真命题；

当x>

0时，2x>

1，q是假命题，所以p∧（¬

q）是真命题，（¬

p）∧q是假命题．

三　根据命题的真假求参数的取值范围

根据命题的真假求参数取值范围的求解策略

（1）含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的（一个或两个）简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．

（2）全称命题可转化为恒成立问题．

【例4】已知命题p：

函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点，命题q：

函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．

解析　若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点．因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，

所以所以0<

a<

1．

若命题q为真，则函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，则Δ＝（2a－3）2－4>

0，得4a2－12a＋5>

0，

解得a<

或a>

.

因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．

①若p真q假，则所以≤a<

1；

②若p假q真，则所以a≤0或a>

故实数a的取值范围是（－∞，0]∪∪.

1．（2018·

四川资阳模拟）下列命题，为真命题的是（　D　）

A．∃x∈R，x2≤x－2

B．∀x∈R,2x>

2－x2

C．函数f（x）＝是定义域上的减函数

D．“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”

解析　x2－x＋2＝2＋>

0，即x2>

x－2，故A项错误；

当x＝0时，20<

2－02，故B项错误；

函数f（x）＝在其定义域上不是单调函数，故C项错误，只有D项正确．

2．（2018·

河南许昌二模）命题“∀x≥0且x∈R,2x>

x2”的否定是（　C　）

A．∃x0≥0且x0∈R,2x0>

x

B．∀x≥0且x∈R,2x≤x2

C．∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x

D．∃x0<

0且x0∈R,2x0≤x

解析　因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：

∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x，故选C．

3．若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__（1，＋∞）__.

解析　由题意，命题“∀x∈R，x2－2x＋m>

0”是真命题，故Δ＝（－2）2－4m<

0，即m>

4．（2018·

河北邯郸一模）已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：

A：

p是真命题；

B：

p∨q是假命题；

C：

m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题q，p，m中的真命题是__m__.

解析　①若A是错误的，则p是假命题，q是假命题，m是真命题，满足条件；

②若B是错误的，则p是真命题，m是真命题，不满足条件；

③若C是错误的，则p是真命题，p∨q不可能是假命题，不满足条件．故真命题是m.

易错点1　混淆否命题与命题的否定

错因分析：

否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论．

【例1】写出命题“若a2＋b2＝0，则实数a，b全为零”的否定及否命题．

解析　命题的否定：

若a2＋b2＝0，则实数a，b不全为零．

命题的否命题：

若a2＋b2≠0，则实数a，b不全为零．

【跟踪训练1】命题p的否定是“对所有正数x，>

x＋1”，则命题p可写为！

！

　∃x0∈（0，＋∞），≤x0＋1　###.

解析　因为p是¬

p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．

易错点2　不会判断全称命题、特称命题的真假

判断全称命题为真时需给出严格的证明，为假时只需举出一个反例；

判断特称命题为真时，只需找出满足的一个对象，为假时可用反证法．

【例2】下列命题中，真命题是（　　）

A．∃m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）是偶函数