轴对称变换画图及求最小值问题学案资料Word下载.docx

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2．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（　　）

（﹣3，2）

（2，﹣3）

（1，﹣2）

（3，﹣1）

3．已知：

如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°

，则∠α的度数为（　

　）

60°

45°

40°

30°

4．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）

2

3

4

5

5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°

，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　）

70°

80°

二．填空题（共3小题）

6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（﹣1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是　_________　．

7．如图，在2×

2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有　_________　个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未

8．已知实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是　_________　．

三．解答题（共22小题）

9．（2013•重庆）作图题：

（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．

（1）作△ABC关于直线l：

x=﹣1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；

（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

10．已知：

如图所示，

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．

（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．

11．我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：

如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．

我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与直线l的交点，就是要求的点P．

有很多问题都可用类似的方法去思考解决．

探究：

（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是　_________　；

（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；

（不写作法，保留作图痕迹）

（3）如图5，平面直角坐标系中有两点A（6，4）、B（4，6），在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是　_________　，点D的坐标应该是　_________　．

12．小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：

如图a，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：

①作点B关于直线m的对称点B′；

②连接AB′，与直线m的交点P，则点P为所求线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）如图b，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），使得BP+PE的值最小，并求出最小值；

（2）如图c，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E，F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图c中确定点E，F的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF周长的最小值．

13．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．

（1）由图观察易知A（2，0）关于直线l的对称点A′的坐标为（0，﹣2），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5），关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标；

B′　_________　、C′　_________　；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为　_________　（不必证明）；

（3）已知两点D（﹣1，﹣3）、E（1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

14．如图1：

点M、N在直线AB的同侧，在直线上找一点P使MP+NP最短？

解：

做点M关于直线AB的对称点M′．连接M′N，线段M′N与直线AB的交点即为点P的位置，即MP+NP最短．

（1）应用1：

如图2，M、N是△ABC中AB、AC边上的两点，请在BC边上确定一点P使得△PMN的周长最小？

（不写作法只保留作图痕迹）

（2）应用2：

设x、y为正实数，且x+y=8，求：

+的最小值．

15．阅读材料：

例：

说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．

+=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B　_________　的距离之和．（填写点B的坐标）

（2）求代数式+的最小值．

16．如图1，在直线l同侧有A，E两点

（1）通过画图，在直线l上找到一点P，使得AP+EP的值最小；

（2）如图2，分别过点A，E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC，EC．已知AB=9，DE=1，AE=17，设CD=x，用含x的代数式表示AC+CE的长；

（3）应用A：

如图3，若直线l是一条河流，A、E代表河流同侧的两个工厂，欲在河岸上建一供水站，供A、E两个工厂的用水，为了节省费用，使通水管道到两个工厂的距离之和最短；

已知工厂A到河岸的距离为9千米，工厂E到河岸的距离为1千米，A、E两个工厂之间的距离为17千米，请你求出通水管道的最短长度；

（4）应用B：

借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+的最小值（0＜x＜16）

17.在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．

如图

（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图

（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

　_________　．

18．小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：

如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：

①作点A关于直线l的对称点A′．

②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：

（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．

①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）

②请直接写出△PDE周长的最小值　_________　．

（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值　_________　．

19．七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：

如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．

我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'

．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'

，与直线l的交点就是要求的点P．

（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是　_________　；

运用：

（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是　_________　；

操作：

（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）

20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式，并说明点（1，2）是否在函数图象上；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．

　21．几何模型：

条件：

如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：

在直线l上确定一点P，使