23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版Word格式文档下载.docx

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0且b>

0，但a与b的大小关系不确定．

3．在双曲线中a、b、c满足c2＝a2＋b2，与椭圆不同．

用待定系数法求双曲线方程

[例1]　已知双曲线过点P（－，－），Q两点，求双曲线的标准方程．

[思路点拨]　解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<

0）的形式，将两点代入，简化运算过程．

[精解详析]　法一：

当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1（a>

0，b>

0），

∵P（－，－），Q两点在双曲线上．

∴

解得即a2＝1，b2＝3，

∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为

－＝1（a>

∵P（－，－），Q两点在双曲线上，

解得（不符合题意，舍去）．

综上：

所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

法二：

设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn<

因为双曲线过两点P（－，－），Q，

得解得

所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.

[一点通]　用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点（，4），求双曲线的方程；

（2）c＝，经过点（－5,2），焦点在x轴上．

解：

（1）椭圆＋＝1的焦点坐标为F1（0，－3），F2（0,3），故可设双曲线的方程为－＝1.

由题意，知解得

故双曲线的方程为－＝1.

（2）∵焦点在x轴上，c＝，

∴设所求双曲线方程为－＝1（其中0<

λ<

6）．

∵双曲线经过点（－5,2），

∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30（舍去）．

∴所求双曲线方程是－y2＝1.

2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a＝4，c＝5，焦点在y轴上；

（2）焦点为（0，－6），（0,6），经过点A（－5,6）．

（1）由题设知，a＝4，c＝5，

由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝52－42＝9.

因为双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

（2）由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A（－5,6）在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.

因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.

曲线方程的讨论

[例2]　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．

[思路点拨]　由双曲线的焦点在y轴上，得关于m的不等式组，进而解不等式组求m的范围．

[精解详析]　由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>

5.

所以实数m的取值范围是（5，＋∞）．

[一点通]　给出方程＋＝1（mn≠0），当mn<

0时，方程表示双曲线，当时，表示焦点在x轴上的双曲线；

当时，表示焦点在y轴上的双曲线．

3．k＞9是方程＋＝1表示双曲线的____________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．

解析：

＋＝1表示双曲线的充要条件是

（9－k）·

（k－4）＜0，即k＞9或k＜4.

因为k＞9是k＞9或k＜4的充分不必要条件．

即k＞9是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．

答案：

充分不必要

4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________；

若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．

①若表示焦点在x轴上的双曲线，则⇒－3<

m<

2.

②若该方程表示双曲线，则

（2－m）（|m|－3）<

0.

解得－3<

2或m>

3.

（－3,2）　（－3,2）∪（3，＋∞）

双曲线的定义及其标准方程的应用

[例3]　已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·

PF2＝32，试求△F1PF2的面积．

[思路点拨]　本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F1PF2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．

[精解详析]　双曲线的标准方程为－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.由双曲线的定义，

得|PF2－PF1|＝2a＝6，将此式两边平方，得PF＋PF－2PF1·

PF2＝36，

∴PF＋PF＝36＋2PF1·

PF2＝36＋2×

32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°

，

∴S△F1PF2＝PF1·

PF2＝×

32＝16.

[一点通]　在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF1－PF2|＝2a，其次要利用余弦定理（或勾股定理）建立关于PF1、PF2、F1F2的方程，解方程组可求得PF1、PF2或PF1·

PF2，再解决相关问题．

5．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则MN－MO＝________.

如图，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以MO＝PF′，又FN＝＝5，由双曲线的定义知PF－PF′＝8，故MN－MO＝－PF′＋MF－FN＝（PF－PF′）－FN＝×

8－5＝－1.

－1

6．如图所示，已知定圆F1：

x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：

x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

圆F1：

（x＋5）2＋y2＝1，圆F2：

（x－5）2＋y2＝42，

∴F1（－5,0），半径r1＝1；

F2（5,0），半径r2＝4.

设动圆M的半径为R，则MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，

∴MF2－MF1＝3＜F1F2＝10.

∴动圆圆心M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，

且a＝，c＝5.

∴b2＝25－＝.

∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.

1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．

2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．

[对应课时跟踪训练（十）]　

1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．

设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋11<

14（舍去），∴PF2＝21.

21

2．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.

设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒×

PF2×

r＝×

PF1×

r－λ×

F1F2×

r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·

2c，∴λ＝＝.

3．若方程＋＝1（k∈R）表示双曲线，则k的范围是________．

依题意可知：

（k－3）（k＋3）<

0，求得－3<

k<

－3<

3

4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.

由双曲线－＝1可知a>

0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2（舍去）．故实数a＝1.

1

5．已知双曲线的两个焦点为F1（－，0），F2＝（，0），M是此双曲线上的一点，且满足·

＝0，||·

||＝2，则该双曲线的方程是________．

∵·

＝0，∴⊥.

∴||2＋||2＝40.

∴（||－||）2

＝||2－2||·

||＋||2

＝40－2×

2＝36.

∴|||－|||＝6＝2a，a＝3.

又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，

∴双曲线方程为－y2＝1.

－y2＝1

6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P（5，）；

（2）过点P1（3，－4），P2（，5）．

（1）因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1（－5,0），A2（5,0），所以所求双曲线的焦点为F1（－5,0），F2（5,0）．

由双曲线的定义知，|PF1－PF2|

＝|－|

＝|－|＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

（2）设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1（AB<

0），分别将点P1（3，－4），P2（，5）代入，得解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.

7．设F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝120°

.求△F1PF2的面积．

由已知得a＝2，b＝1；

c＝＝，

由余弦定理得：

F1F＝PF＋PF－2PF1·

PF2cos120°

即

（2）2＝（PF1－PF2）2＋3PF1·

PF2

∵|PF1－PF2|＝4.∴PF1·

PF2＝.

PF2·

sin120°

＝×

×

＝.

8.如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．

以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．则A（－2，0），B（2，0）．设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝（R为△ABC外接圆的半径）．

∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝.

从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<

|AB|.

由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）．∵a＝，c＝2，∴b2＝6.

∴顶点C的轨迹方程为－＝1（x>

）．

2．3.2　双曲线的几何性质

双曲线的简单几何性质

歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：

如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．

双曲线的对称轴、对称中心是什么？

坐标轴；

原点．

过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？

有一个交点．

双曲线的几何性质

图形

性质

焦点

焦距

2c

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

y≥a或y≤－a，x∈R

顶点

a,0）

a）

对称性

关于x轴、y轴、坐标原点对称

轴长

实轴长＝2a，虚轴长