初一数学角与角平分线练习题.docx

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初一数学角与角平分线练习题

初一数学角与角平分线练习题

初一数学角与角平分线

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

角、角分线

会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示

会尺规作图：

作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系

例题精讲

一、角的定义

定义1：

有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义2：

角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.

（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.

注意：

由角的定义可知：

（1）角的组成部分为：

两条边和一个顶点；

（2）顶点是这两条边的交点；

（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法

1利用三个大写字母来表示，如图．

注意：

顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．

2利用一个大写字母来表示，如图．

注意：

用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．

③用数字来表示角，如图．

3用希腊字母来表示角，如图．

三、单位换算

1度＝60分（）1分=60秒（）

四、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：

对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成等份，每一份就是一度的角，记做．把一度的角等分，每一份叫做分的角，记做．把一分的角等分，每一份叫做秒的角，记做．

角度之间的关系

周角=平角＝直角＝

周角＝平角平角＝直角

角的分类：

锐角（），直角（），钝角（）．

五、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.

（3）角平分线的画法：

①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR

六、用尺规做已知角的平分线方法

作法：

（1）以点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于两点；

（2）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于点；

（3）过C点作射线OC。

所以，射线OC就是所求作的。

七、余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

（3）补角、余角的性质：

同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

八、方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

九、钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度；

分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示

【例1】角是由有　　　的两条射线组成的图形，两条射线的　　　是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线　　　　　　　　　　．

【例2】下列语句正确的是（）

①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个

③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个。

④两条射线组成的图形叫做角

A①、②B①、③C①、④D②、③

【例3】如图，角的顶点是，边是，

用三种方法表示该角分别为．

【巩固】在右图中，角的表示方法正确的是（）

A．B．C．D．

【巩固】如图，以为顶点的角共有几个请把它们写出来，以为顶点的角呢

【例4】下图中，以为顶点的角是_________。

有一边与射线在同一条直线上的角有__________个。

【例5】判断

（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．

（）用倍的放大镜看的角，这个角就变成了．

（）由两条射线组成的图形叫做角．

（）延长一个角的两边．

（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．

二、角的分类

【例6】下列语句正确的是（　　）

A、平角就是一条直线B、周角就是一条射线

C、小于平角的角是钝角D、一周角等于四个直角

【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（　　）

A、4个B、5个

C、6个D、7个

【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（　　）

A、4个B、7个

C、9个D、10个

【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（　　）

A、10个B、15个C、20个D、25个

【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（　　）个，钝角至少有（　　）个．

A、4，3B、3，2

C、6，3D、4，2

三、角度的换算及运算

【例11】

（1）

（2）

【巩固】

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

【例12】

（1）。

（2）

【巩固】

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）

（7）；（8）

【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个

A．4个B．7个C．11个D．16个

【例14】如右图，是直线，，求的度数．

四、余角和补角

【例15】如图，于，，平分，则图中与互余的角有______个；互补的角有_________对；

【巩固】如图，是直线上的一点，，，平分，则图中彼此互补的角共有______对．

【例16】如下图，，，在一条直线上，是锐角，则的余角是（）

A．B．

C．D．

【例17】一个角和它的余角的比是，则这个角的补角是

【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．

【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大，求这个角的余角度数．

【巩固】一个角与角之和的等于角的余角，求．

【巩固】已知的余角是的补角的，并且，试求的度数．

【例20】已知两角互补，试说明：

较小角的余角等于两角差的一半。

五、角平分线

【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．　　（填“正确”或“错误”）

【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（　　）

A、35°B、55°

C、70°D、110°

【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（　　）

A、40°B、50°

C、80°D、100°

【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（　　）

A、80°B、90°

C、100°D、70°

【例25】如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（　　）

A、68°B、112°

C、121°D、136°

【例26】下列说法正确的是（　　）

A、两点之间直线最短

B、用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大

C、将一个角分成两个角的射线叫角的平分线

D、直线l经过点A，那么点A在直线l上

六、方位角

【例27】下面图形中，表示北偏东的是（）

【巩固】下列说法不正确的是（）

A．方向是北偏东

B．方向是北偏西

C．方向是南偏西

D．方向是东南方向

【例28】如图，平面内有两点

（1）分别画出点处北偏东的方向和点处北偏西的方向．

（2）点位于的什么方向（精确到）

【例29】如图，、、、是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．

为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点的位置）建立了位置指示图，直线

相交于，，请按要求完成下列问题：

①若在图上测得，，，则可知场馆的位置是北偏西，据中心，可简记为（，北偏西）．据此方法，场馆的位置可简记为（_________，________）．

②可求得________；

③在现有的图形中（不增加新的字母），与_____________是互补的角．

七、共定点角的相关计算

【例30】如图，在直线上取一点，在同侧引射线，，，使和互余，射线和分别平分和，求证：

．

【巩固】如图，直线，相交于点，作，平分，若，求．

【例31】如图所示，，是内部的任意一条射线，若平分，平分，试求的度数．

【例32】如图，是一个平角

，求的度数．

【例33】已知：

如图，是外的一条射线，平分．平分．

①若，，问：

②若，求的度数并说明理由．

【例34】为外的一个锐角，射线、分别平分、．

（1），，求的度数；

（2），，求的度数；

（3），，还能否求出的度数吗若能，求出其值，若不能，说明理由．

（4）从前三问的结果你发现了什么规律

【例35】已知：

、、是从点引出的三条射线，，求.

【巩固】已知一条射线，若从点再引两条射线与，使，，求的度数.

【例36】已知都是钝角，计算，正确的结果只可能是（）

A．B．C．D．

【巩固】、、中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了、、这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求的值．

【例37】在同一平面内有射线平分，的3倍比的2倍多，，求的度数.

【例38】以的顶点为端点引射线，使得，且，均小于，若，求的度数.

八、钟表角度问题

【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　）

A、30B、60°

C、90°D、120°

【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（　　）

A、90°B、105°

C、120°D、135°

【例41】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（　　）

A、30°B、45°

C、60°D、90°

【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角分别是几点几分

【例43】钟表在12点钟时三针重合，经过分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则的值是多少

课后作业

1.一个角的补角和它的余角的倍的和等于周