学年新设计高中数学人教A版必修三讲义第二章 章末复习课Word版含答案Word下载.docx
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2.关于用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理,作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.
(2)茎叶图刻画数据有两个优点:
一是所有信息都可以从图中得到;
二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,便于记录和表示.
(3)平均数反映了样本数据的平均水平,而标准差反映了样本数据的波动程度.
3.变量间的相关关系
(1)除了函数关系这种确定性的关系外,还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系,对于一元线性相关关系,通过建立回归方程就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间的整体关系的了解,主要是作出散点图,写出回归方程.
(2)求回归方程的步骤:
①先把数据制成表,从表中计算出,,,iyi;
②计算回归系数,.公式为
③写出回归方程=x+.
要点一 抽样方法的应用
1.抽样方法有:
简单随机抽样、分层抽样.
2.两种抽样方法比较
【例1】 一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12,24,15,9 B.9,12,12,7
C.8,15,12,5 D.8,16,10,6
解析 因为=,故各层中依次抽取的人数分别是=8,=16,=10,=6.
答案 D
【训练1】 问题:
①某小区有800户家庭,其中高收入家庭200户,中等收入家庭480户,低收入家庭120户,为了了解有关家用轿车购买力的某个指标,要从中抽取一个容量为100的样本;
②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法:
(1)简单随机抽样;
(2)分层抽样.则问题与方法配对正确的是( )
A.①
(1),②
(2) B.①
(2),②
(1)
C.①
(1),②
(1) D.①
(2),②
(2)
解析 问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的,故可采用分层抽样方法;
问题②中总体的个数较少,故可采用简单随机抽样.故匹配正确的是B.
答案 B
要点二 用样本的频率分布估计总体分布
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1就可求出其他数据.
(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形及某范围结合求解.
【例2】 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位:
cm):
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
20
11
6
(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数).
(2)画出频率分布直方图.
(3)估计身高低于134cm的人数占总人数的百分比.
解
(1)列出样本频率分布表:
分组
频数
频率
[122,126)
0.04
[126,130)
0.07
[130,134)
0.08
[134,138)
0.18
[138,142)
0.28
[142,146)
0.17
[146,150)
0.09
[150,154)
0.05
[154,158]
合计
120
1.00
(2)画出频率分布直方图,如图所示.
(3)因为样本中身高低于134cm的人数的频率为=≈0.19.
所以估计身高低于134cm的人数约占总人数的19%.
【训练2】 如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为( )
A.20 B.30
C.40 D.50
解析 前3组的频率之和等于1-(0.0125+0.0375)×
5=0.75,第2小组的频率是0.75×
=0.25,设样本容量为n,则=0.25,则n=40.故选C.
答案 C
要点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律,我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值;
中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,中位数为处于中间位置的数,如果数据的个数是偶数,中位数为中间两个数据的平均数;
平均数就是所有样本数据的平均值,用表示;
标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其计算公式是
s=.有时也用标准差的平方(s2-方差)来代替标准差.
【例3】 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次,每次射靶成绩(单位:
环)如图所示:
(1)填写下表:
平均数
方差
中位数
命中9环及以上次数
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:
①从平均数和方差结合分析偏离程度;
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些;
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些;
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.
解
(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙=(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7;
乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数是=7.5;
甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示:
7.5
(2)①甲、乙的平均数相同,均为7,但s<s,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离平均数的程度大.
②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好.
③甲、乙的平均水平相同,而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次,可知乙的射靶成绩比甲好.
④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态在提升,更有潜力.
【训练3】 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是(单位:
分)( )
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
解析 将这组数据从小到大排列,得87,89,90,91,92,93,94,96(单位:
分).故平均数=×
(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5(分),中位数为=91.5(分).故选A.
答案 A
要点四 变量间的相关关系
除了函数关系这种确定性的关系外,还有大量因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系.分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据的散点图给出判断.若是线性相关,还可以利用最小二乘法求出回归方程.求回归方程的步骤:
(1)由已知数据计算出,,,iyi;
(2)计算回归方程的系数,,公式为
(3)写出回归方程=x+.
【例4】 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
2
4
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)已知两变量线性相关,求y关于t的回归方程;
(2)利用
(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=,=-.
解
(1)由所给数据计算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)=(-3)×
(-1.4)+(-2)×
(-1)+(-1)×
(-0.7)+0×
0.1+1×
0.5+2×
0.9+3×
1.6=14,
===0.5,
=-=4.3-0.5×
4=2.3,
故所求回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由
(1)知,=0.5>
0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入
(1)中的回归方程,得
=0.5×
9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
【训练4】 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示:
年份202x(年)
人口数y(十万)
19
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)指出x与y是否线性相关;
(3)若x与y线性相关,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归方程=x+;
(4)据此估计2025年该城市人口总数.
(参数数据:
0×
5+1×
7+2×
8+3×
11+4×
19=132,02+12+22+32+42=30)
解
(1)数据的散点图如图:
(2)由散点图可知,样本点基本上分布在一条直线附近,故x与y呈线性相关.
(3)由表知=×
(0+1+2+3+4)=2,=×
(5+7+8+11+19)=10.
∴==3.2,
=-=3.6,
∴回归方程为=3.2x+3.6.
(4)当x=5时,=19.6(十万)=196万.
故2025年该城市人口总数约为196万.