最新高一数学竞赛试题参考答案及评分标准Word下载.docx

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3．已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【解答】由，得

∵，

∴，即，解得或。

∴的取值范围为。

4．、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）

（1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线；

（2）若，，，则；

（3）若，，且，则；

（4）若，，，，则。

A．1B．2C．3D．4

【解答】

（1）不正确。

如图，在正方体中，取为直线，为直线。

过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。

（2）、（3）正确。

（4）不正确。

如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，则有，，，，但与面相交而不平行。

5．已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】依题意，的图像关于直线对称。

∴，。

于是，，解得。

，时，

。

∴，

即。

此时，，，符合题意。

∴，即时，取最小值。

6．已知，，，若，且，则的最小值为（）

【答案】D

【解答】由，得。

∴。

设，则。

∴，解得，即，。

∴，即。

由，知，。

∴，解得。

因此，。

又当时，代入前面解得，。

符合题设要求。

∴的最小值为。

二、填空题（每小题6分，共36分）

7．已知定义在上的函数（，且）的值域也是，则的值为。

【答案】

【解答】当时，在上为增函数，依题意有

，方程组无解。

当时，在上为减函数，依题意有

，解得。

所以，。

8．如图，在三棱锥中，，，。

设与所成的角为，则的值为。

【答案】

【解答】如图，取中点，连接，。

∵，，

∴，，。

（第8题图）

又由，知是等边三角形。

作于，则，且。

∴是与所称的角。

9．已知，，，点在线段内，且平分，则点的坐标为。

【解答】如图，方程为，设（）。

又直线方程为，方程为，平分。

∴点到直线、距离相等。

（第9题图）

解得，（舍去）或。

因此，点坐标为。

10．设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。

若，，则不等式组的解集为。

【解答】∵是偶函数，且在区间上单调递减。

∴在区间上为增函数。

又是以2为周期的周期函数，

又，，以及是以2为周期的偶函数。

又，

∴不等式组的解集为。

11．已知，定义，，，，，…，则。

【解答】依题意，有，，，

……………

一般地，有。

12．已知，，，且，则的最大值为。

【解答】由，知

，当且仅当，且，即，时，等号成立。

所以，的最大值为。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）

13．已知，且当时，恒成立。

（1）求的解析式；

（2）已知、是函数图像上不同的两点，，且。

当、为整数，时，求直线的方程。

（1）依题意，，。

∴，且。

……………………………4分

此时，，可见在区间上的最小值为。

∴的对称轴为，即，。

……………………………8分

（2）由

（1）知，。

同理。

……………………………12分

又、为整数，且，

∴，或，或。

结合，得，。

∴、坐标分别为、。

∴直线的方程为。

……………………………16分

14．过直线：

上一点作圆：

的两条切线、，、为切点。

（1）在上是否存在点，使得？

若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由；

（2）若直线过原点，求点的坐标。

（1）假设符合条件的点存在。

则由，知。

………………………………4分

另一方面，由圆心到直线的距离，知。

即，矛盾。

因此，假设不成立。

∴符合条件的点不存在。

………………………………8分

（2）设为直线上一点。

则。

∴点、在以为圆心，半径为的圆上，

即点、在圆上，

即圆上。

又点、在圆：

上，即圆上。

将上述两圆方程联立，消二次项，得。

∴直线方程为。

……………………12分

由直线过原点知，。

联立，解得，。

∴点的坐标为。

………………………………16分

15．如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。

点在线段上，且。

（1）求证：

；

（2）求证：

（1）由条件知，，，

∴、、、四点共圆。

………………4分

∵为的中点，

延长交于点。

由为的垂心知，。

（第15题图）

又，，

………………………………8分

16．已知为定义在上的奇函数，且当时，。

（1）若函数恰有两个不相同的零点，求实数的值；

（2）记为函数的所有零点之和。

当时，求的取值范围。

【解答】

（1）如图，作出函数的草图。

（第16题图）

由图像可知，当且仅当或时，直线与函数的图像有两个不同的交点。

所以，当且仅当或时，函数恰有两个不相同的零点。

因此，或。

…………………………………4分

（2）由的图像可知，当时，有6个不同的零点。

…………8分

设这6个零点从左到右依次设为，，，，，。

则，，是方程的解，是方程的解。

……………………12分

∵时，，

∴时，的取值范围为。

………………………16分

weep哭泣；

流泪weptwept

bring拿来broughtbrought

不规则动词变化，大体上归纳有以下六条记忆法：

spring跳跃sprang/sprungsprung17．设集合是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：

find找出foundfound①对任意，在中去掉后，剩下的数的算术平均数都是正整数；

②，，且是中最大的数。

deal处理dealtdealt求的最大值。

（符号表示集合中元素的个数）

【解答】依题意，设，且。

记，，则，其中，2，3，…，。

find找出foundfound∴对任意，有。

…………5分

teach教taughttaught∴对任意，。

∴任意，。

于是，。

即，。

…………………………………10分

prove证明provedproved/proven另一方面，令，，2，3，…，31，则符合要求。

∴的最大值为31，即的最大值为31。

……………………………14分