浙江高考数学二轮复习教师用书第1部分 重点强化专题 专题5 突破点 直线与圆 Word版含答案Word格式文档下载.docx

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提炼3求距离最值问题的本质

（1）圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中r为圆的半径．

（2）圆上的点到直线的最大距离是d＋r，最小距离是d－r，其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径．

（3）过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．

[高考真题回访]

回访1　两条直线的位置关系

1．（2012·

浙江高考）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

A　[若直线l1与l2平行，则a（a＋1）－2×

1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]

2．（2011·

浙江高考）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

1　[∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，

∴2－2m＝0，∴m＝1.]

回访2　圆的方程

3．（2016·

浙江高考）已知a∈R方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

（－2，－4）　5　[由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋（y＋1）2＝－<

0，不表示圆；

当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，则圆心坐标为（－2，－4），半径是5.]

4．（2015·

浙江高考）已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．

15　[∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4<

0,6－x－3y>

0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.

令z＝10－3x－4y，

如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，∴直线OA的方程为y＝x.

联立得A，

∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×

－4×

＝15.]

5．（2013·

浙江高考）如图111，点P（0，－1）是椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：

x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

图111

（1）求椭圆C1的方程；

（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

[解]　

（1）由题意得2分

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.6分

又圆C2：

x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，

所以|AB|＝2＝2.7分

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.

由消去y，整理得（4＋k2）x2＋8kx＝0，

故x0＝－，所以|PD|＝.8分

设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·

|PD|＝，11分

所以S＝≤＝，当且仅当k＝±

时取等号．

所以所求直线l1的方程为y＝±

x－1.15分

回访3　直线与圆、圆与圆的位置关系

6．（2014·

浙江高考）已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）

A．－2B．－4

C．－6D．－8

B　[由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为（－1,1），半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.]

7．（2013·

浙江高考）直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________．

4　[圆的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25，故圆心为（3,4），半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×

＝2＝4.]

8．（2015·

浙江高考）如图112，已知抛物线C1：

y＝x2，圆C2：

x2＋（y－1）2＝1，过点P（t,0）（t>

0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．

图112

（1）求点A，B的坐标；

（2）求△PAB的面积．

[解]　

（1）由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k（x－t）.

2分

由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，

由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.3分

因此，点A的坐标为（2t，t2）．

设圆C2的圆心为D（0,1），点B的坐标为（x0，y0）．由题意知：

点B，O关于直线PD对称，故5分

解得因此，点B的坐标为.7分

（2）由

（1）知|AP|＝t·

，

直线PA的方程为tx－y－t2＝0.

点B到直线PA的距离是d＝.11分

设△PAB的面积为S（t），则S（t）＝|AP|·

d＝.15分

（对应学生用书第43页）

热点题型1　圆的方程

题型分析：

求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.

【例1】　

（1）已知圆C关于y轴对称，经过点A（1,0），且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．

（2）已知⊙M的圆心在第一象限，过原点O被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，则圆M的标准方程为________．

（1）x2＋2＝　

（2）（x－3）2＋（y－1）2＝10　[

（1）因为圆C关于y轴对称，所以圆C的圆心C在y轴上，可设C（0，b），

设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋（y－b）2＝r2.

依题意，得解得

所以圆C的方程为x2＋2＝.

（2）法一：

设⊙M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a＞0，b＞0，r＞0），由题意知

解得故⊙M的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝10.

法二：

因为圆M过原点，故可设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，又被x轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则2＝32，故D＝－6，与3x＋y＝0相切，则＝，即E＝D＝－2，因此所求方程为x2＋y2－6x－2y＝0.

故⊙M的标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝10.]

[方法指津]

求圆的方程的两种方法

1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

[变式训练1]　

（1）（2017·

温州市普通高中高考模拟考试）圆x2＋y2－2y－3＝0的圆心坐标是________，半径是________．

（2）抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________．

（1）（0,1）　2　

（2）（x－1）2＋y2＝4　[

（1）化圆的一般式方程为标准方程，得x2＋（y－1）2＝4，由此知该圆的圆心坐标为（0,1），半径为2.

（2）由题意知，A（1,2），B（1，－2），M（－1,0），

△AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝4.]

热点题型2　直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.

【例2】　

（1）已知直线l：

mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

4　[由直线l：

mx＋y＋3m－＝0知其过定点（－3，），圆心O到直线l的距离为d＝.

由|AB|＝2得2＋（）2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.

画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×

＝4.]

（2）（2017·

金华十校联考）如图113，已知圆G：

（x－2）2＋y2＝r2是椭圆＋y2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点．

①求圆G的半径r；

②过点M（0,1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：

直线EF与圆G相切．

图113

[解]　①设B（2＋r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H.

由＝得＝，

即y0＝，　　①2分

而B（2＋r，y0）在椭圆上，

y＝1－＝＝－，　　②3分

由①②式得15r2＋8r－12＝0，

解得r＝或r＝－（舍去）.5分

②证明：

设过点M（0,1）与圆（x－2）2＋y2＝相切的直线方程为y＝kx＋1，③

则＝，即32k2＋36k＋5＝0，④

解得k1＝，k2＝.

将③代入＋y2＝1得（16k2＋1）x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－.

8分

设F（x1，k1x1＋1），E（x2，k2x2＋1），则

x1＝－，x2＝－，12分

则直线FE的斜率为kEF＝＝＝，

于是直线FE的方程为y＋－1＝.

即y＝x－，则圆心（2,0）到直线FE的距离d＝＝，故结论成立.

15分

1．直线（圆）与圆的位置关系的解题思路

（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．

（2）直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．

2．弦长的求解方法

（1）根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2（其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）．

（2）根据公式：

l＝|x1－x2|求解（其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率）．

（3）求出交点坐标，用两点间距离公式求解．

[变式训练2]　

（1）（2017·