坐标系与参数方程高考冲刺(文理科专用)Word格式.docx
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(2)若,,以为直径的圆:
要点二:
参数方程
1.概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数:
,并且对于的每一个允许值,方程所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系间的关系的变数叫做参变数(简称参数).
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。
要点三:
常见曲线的参数方程
1.直线的参数方程
(1)经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为:
(为参数);
其中参数的几何意义:
,有,即表示直线上任一点M到定点的距离。
(当在上方时,,在下方时,)。
(2)过定点,且其斜率为的直线的参数方程为:
(为参数,为为常数,);
其中的几何意义为:
若是直线上一点,则。
2.圆的参数方程
(1)已知圆心为,半径为的圆的参数方程为:
(是参数,);
特别地当圆心在原点时,其参数方程为(是参数)。
(2)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3.椭圆的参数方程
(1)椭圆()的参数方程(为参数)。
(2)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成,为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4.双曲线的参数方程
双曲线(,)的参数方程为(为参数)。
5.抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为(是参数)。
参数的几何意义为:
抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数,即。
典例解析
类型一、极坐标方程的综合应用
例1(2016兰州模拟)在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)若α∈[0,),直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围.
【思路点拨】
(Ⅰ)先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程,再利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得圆C的极坐标方程.
(Ⅱ)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|AB|=|t1﹣t2|,化为关于α的三角函数求解.
【解析】
(Ⅰ)∵C(,)的直角坐标为(1,1),
∴圆C的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=3.
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ(cosθ+sinθ)﹣1=0
(Ⅱ)将代入圆C的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=3,
得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,
即t2+2t(cosα+sinα)﹣1=0.
∴t1+t2=﹣2(cosα+sinα),t1•t2=﹣1.
∴|AB|=|t1﹣t2|==2.
∵α∈[0,),∴2α∈[0,),
∴2≤|AB|<2.
即弦长|AB|的取值范围是[2,2)
【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即可.
举一反三:
【变式1】在极坐标系中,,,则△AOB的面积是________。
【答案】,
∴。
【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是()
A.2B.C.1D.
【答案】D
法一:
在极坐标系中,两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.
法二:
将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是,,
由此求得圆心距为.
类型二参数方程的应用
例2.已知实数x,y满足,求:
(1)x2+y2的最大值;
(2)x+y的最小值.
【思路点拨】充分利用圆的参数方程
【解析】原方程配方得,表示以为圆心,2为半径的圆.
用参数方程表示为:
(为参数,0≤<2).
(1)
∴当,即时,(x2+y2)max=16.
(2)
∴当,即时,.
【总结升华】利用圆的参数方程求最值,一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数,然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。
【变式1】已知点是圆上的动点,
(1)求的取值范围;
(2)若恒成立,求实数的取值范围。
【答案】
(1)设圆的参数方程为,
【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.
【答案】已知圆方程为,
设其参数方程为()
则圆上的点到直线的距离为
,即,
∴或
又,∴,从而满足要求的点一共有三个.
例3(2016湖南二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1:
(t为参数),C2:
(θ为参数).
(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:
ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.
(Ⅰ)曲线C1:
(t为参数),化为(x+4)2+(y﹣3)2=1,
∴C1为圆心是(﹣4,3),半径是1的圆.
C2:
(θ为参数),化为.
C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
(Ⅱ)当t=时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M,
直线C3:
ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7,
M到C3的距离d==|5sin(θ+φ)+13|,
从而当cossinθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.
【变式1】
(2016衡水校级一模)已知曲线C1:
(t为参数),C2:
(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:
(t为参数)距离的最小值.
(Ⅰ)把C1,C2的参数方程消去参数,化为普通方程分别为,
C1为圆心是(﹣4,3),半径是1的圆;
(Ⅱ)当时,P(﹣4,4),设Q(8cosθ,3sinθ),故,C3为直线x﹣2y﹣7=0,
求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin(θ+α)﹣|,其中,sinα=,cosα=﹣.
从而当sin(θ+α)=1,即当时,d取得最小值为.
【变式2】在椭圆中作内接矩形,求内接矩形的最大面积.
【答案】如图,设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是
A()(),矩形的面积是S。
,当且仅当时,。
所以内接矩形的最大面积为40.
例4.经过点,倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点.
(1)求弦BC的长;
(2)当A恰为BC的中点时,求直线BC的方程;
(3)当|BC|=8时,求直线BC的方程;
(4)当变化时,求动弦BC的中点M的轨迹方程.
【思路点拨】本题可以使用直线的普通方程来解,也可以使用参数方程来解,但是使用普通方程解,运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角,写出直线的参数方程求解,就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算.
【解析】取AP=t为参数(P为上的动点),
则的参数方程为,
代入x2+y2=25,整理得
.
∵Δ=9(2cos+sin)2+55>0恒成立.
∴方程必有相异两实根t1、t2,且t1+t2=3(2cos+sin),.
(1).
(2)∵A为BC中点,∴t1+t2=0,
即2cos+sin=0,∴tan=-2..
故直线BC的方程为,
即4x+2y+15=0.
(3)∵,
∴(2cos+sin)2=1,∴cos=0或.
∴直线BC的方程是x=-3或3x+4y+15=0.
【变式1】直线和圆交于两点,则的中点坐标为()A.B.C.D.
【答案】D
,得,
中点为
【变式2】求直线(为参数)被双曲线截得的弦长。
【答案】把直线参数方程化为标准参数方程
【变式3】过点P(-3,0)且倾斜角为30°
的直线和曲线相交于A、B两点,求线段AB的长.
【答案】直线的参数方程为曲线可以化为.
将直线的参数方程代入上式,得.设A、B对应的参数分别为,
∴.AB=.
例5(2016鞍山一模)直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的方程为ρ=4cosθ,直线l的方程为(t为参数),直线l与曲线C的公共点为T.
(1)求点T的极坐标;
(2)过点T作直线l1,若l1被曲线C截得的线段长为2,求直线l1的极坐标方程.
(1)曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2=0.
将代入上式并整理得.
解得.∴点T的坐标为.
其极坐标为…(5分)
(2)设直线l'
的方程为.
由(Ⅰ)得曲线C是以(2,0)为圆心的圆,且圆心到直线l'
的距离为
则,.解得k=0,或.
直线l'
的方程为,或.
其极坐标方程为(ρ∈R)
【变式1】已知直线经过点,倾斜角,
(1)写出直线的参数方程。
(2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。
(1)直线的参数方程为,即
(2)把直线代入
得
,则点到两点的距离之积为
【变式2】
(2016杭锦后旗校级二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为(2,1),求|PA|+|PB|.
(I)∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.
(II)设点A、B对应的参数分别为t1,t2,将代入(x﹣2)2+y2=4整理得,
∴,即t1,t2异号.
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==.
巩固练习
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