高中数学选修11人教版 练习第三章 导数及其应用含答案Word格式.docx

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4．函数y＝12x－x3的单调递增区间为（　C　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，－2）

C．（－2,2）D．（2，＋∞）

[解析]　y′＝12－3x2＝3（4－x2）＝3（2＋x）（2－x），令y′>

0，得－2<

x<

2，故选C．

5．（2016·

福建宁德市高二检测）曲线f（x）＝在x＝e处的切线方程为（　A　）

A．y＝B．y＝e

C．y＝xD．y＝x－e＋

[解析]　f′（x）＝，∴f′（e）＝＝0，

∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.

又切点坐标为（e，），∴切线方程为y＝.

6．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝（　D　）

A．2B．3

C．4D．5

[解析]　f′（x）＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′（x）＝0的实数根，∴a＝5.

7．三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则m的取值范围是（　C　）

A．m<

0B．m<

1

C．m≤0D．m≤1

[解析]　f′（x）＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在（－∞，＋∞）上恒成立，当m＝0时，－1≤0在（－∞，＋∞）上恒成立；

当m≠0时，由题意得m<

0，综上可知m≤0.

8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为（　C　）

A．20B．9

C．－2D．2

[解析]　由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，

∴－4×

2＋b＝1，∴b＝9，

又点（2，－1）在抛物线上，

∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C．

9．三次函数当x＝1时，有极大值4；

当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（　B　）

A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9x

C．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x

[解析]　设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），

∵函数图象过原点，∴d＝0.f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，

由题意得，，即，解得，

∴f（x）＝x3－6x2＋9x，故应选B．

10．（2016·

山西大同高二月考）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q（单位：

件）与零售价P（单位：

元）有如下关系Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（　D　）

A．30元B．60元

C．28000元D．23000元

[解析]　设毛利润为L（P），由题意知L（P）＝PQ－20Q＝Q（P－20）＝（8300－170P－P2）（P－20）＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′（P）＝－3P2－300P＋11700.令L′（P）＝0，解得P＝30或－130（舍）．此时L（30）＝23000，因为在P＝30附近的左侧L′（P）>

0，右侧L′（P）<

0.所以L（30）是极大值也是最大值．

11．（2016·

山东滕州市高二检测）已知f′（x）是函数f（x）在R上的导函数，且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　C　）

[解析]　∵x＝－2时，f（x）取得极小值，∴在点（－2,0）左侧，f′（x）<

0，∴xf′（x）>

0，在点（－2,0）右侧f′（x）>

0，∴xf′（x）<

0，故选C．

12．（2016·

山西晋城月考）已知f（x）＝x3－3x，过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（　D　）

A．（－1,1）B．（－2,3）

C．（－1,2）D．（－3，－2）

[解析]　设切点为（t，t3－3t），f′（x）＝3x2－3，则切线方程为y＝（3t2－3）（x－t）＋t3－3t，整理得y＝（3t2－3）x－2t3.把A（1，m）代入整理，得2t3－3t2＋m＋3＝0　①.因为过点A可作三条切线，所以①有三个解．记g（t）＝2t3－3t2＋m＋3，则g′（t）＝6t2－6t＝6t（t－1），所以当t＝0时，极大值g（0）＝m＋3，当t＝1时，极小值g

（1）＝m＋2.要使g（t）有三个零点，只需m＋3>

0且m＋2<

0，即－3<

m<

－2.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）

13．若函数f（x）＝x3－f′

（1）x2＋2x－5，则f′

（2）＝　　.

[解析]　∵f′（x）＝3x2－2f′

（1）x＋2，

∴f′

（1）＝3－2f′

（1）＋2，∴f′

（1）＝.

因此f′

（2）＝12－4f′

（1）＋2＝.

14．已知函数f（x）＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为　c<

　.

[解析]　∵f′（x）＝x2－x＋c且f（x）有极值，

∴f′（x）＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>

0.

解得c<

.

15．已知函数f（x）＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为__2__.

[解析]　f′（x）＝x2－2x－1，

令f′（x）<

0，得1－<

1＋，

∴f（x）在（1－，1＋）上单调递减，即f（x）在[0,1]上单调递减，∴f（x）min＝f

（1）＝－1－1＋m＝，解得m＝2.

16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__a<

－1__.

[解析]　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

当a≥0时，y不可能有极值点，故a<

由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln（－a）．

∴x＝ln（－a）即为函数的极值点．

∴ln（－a）>

0，即ln（－a）>

ln1.

∴a<

－1.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）已知f（x）＝x2＋ax＋b，g（x）＝x2＋cx＋d，又f（2x＋1）＝4g（x），且f′（x）＝g′（x），f（5）＝30.求g（4）．

[解析]　由f（2x＋1）＝4g（x），

得4x2＋2（a＋2）x＋（a＋b＋1）＝4x2＋4cx＋4d.

于是有

由f′（x）＝g′（x），得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c，③

由f（5）＝30，得25＋5a＋b＝30.④

由①③可得a＝c＝2，由④得b＝－5，

再由②得d＝－，∴g（x）＝x2＋2x－.

故g（4）＝16＋8－＝.

18．（本题满分12分）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值.

[解析]　设直线与曲线y＝x3的切点坐标为（x0，y0），

由题意得，

解得x0＝0或x0＝.

当x0＝0时，切线的斜率k＝0，

∴切线方程为y＝0.

由，得ax2＋x－9＝0.

Δ＝（）2＋36a＝0，

解得a＝－.

当x0＝时，k＝，

其切线方程为y＝（x－1）．

由，得ax2－3x－＝0.

Δ＝（－3）2＋9a＝0，解得a＝－1.

综上可知a＝－1或a＝－.

19．（本题满分12分）（2016·

安徽合肥高二检测）已知函数f（x）＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f（x）的极值.

[解析]　∵f（x）＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，

∴f′（x）＝48x2－40ax＋8a2＝8（6x2－5ax＋a2）

＝8（2x－a）（3x－a），

令f′（x）＝0，得x1＝，x2＝.

（1）当a>

0时，<

，则随着x的变化，

f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，）

（，）

（，＋∞）

f′（x）

＋

－

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

∴当a＝时，函数取得极大值f（）＝；

当x＝时，函数取得极小值f（）＝0.

（2）当a<

∴当x＝时，函数取得极大值f（）＝0；

当x＝时，函数取得极小值f（）＝.

综上所述，当a>

0时，函数f（x）在x＝处取得极大值f（）＝，在x＝处取得极小值f（）＝0；

当a<

0时，函数f（x）在x＝处取得极大值f（）＝0在x＝处取得极小值f（）＝.

20．（本题满分12分）（2017·

全国Ⅲ文，21）已知函数f（x）＝lnx＋ax2＋（2a＋1）x.

（1）讨论f（x）的单调性；

0时，证明f（x）≤－－2.

[解析]　

（1）解：

f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝＋2ax＋2a＋1＝.

若a≥0，则当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>

0，

故f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

若a<

0，则当x∈（0，－）时，f′（x）>

当x∈（－，＋∞）时，f′（x）<

故f（x）在（0，－）上单调递增，在（－，＋∞）上单调递减．

（2）证明：

由

（1）知，当a<

0时，f（x）在x＝－处取得最大值，最大值为f（－）＝ln（－）－1－.

所以f（x）≤－－2等价于ln（－）－1－≤－－2，

即ln（－）＋＋1≤0.

设g（x）＝lnx－x＋1，

则g′（x）＝－1.

当x∈（0,1）时，g′（x）>

0；

当x∈（1，＋∞）时，g′（x）<

所以g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．

故当x＝1时，g（x）取得最大值，最大值为g

（1）＝0.

所以当x>

0时，g（x）≤0.

从而当a<

0时，ln（－）＋＋1≤0，

即f（x）≤－－2.

21．（本题满分12分）（2017·

全国Ⅰ文，21）已知函数f（x）＝ex（ex－a）－a2x.

（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

[解析]　

（1）函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），

f′（x）＝2e2x－aex－a2＝（2ex＋a）（ex－a）．

①若a＝0，则f（x）＝e2x在（－∞，＋∞）上单调递增．

②若a>

0，则由f′（x）＝0得x＝lna.

当x∈（－∞，lna）时，f′（x）<

当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）>

故f（x）在（－∞，lna）上单调递减．

在（lna，＋∞）上单调递增．

③若a<

0，则由f′（x）＝0得x＝ln（－）．

当x∈（－∞，ln（－））时，f′（x）<