压轴题反比例函数专题复习Word文档格式.docx
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,∠AMC=∠BMD=90°
-∠AMD,MC=MD=,
∴△AMC≌△BMD,…5分∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6,…6分
(3)设P点坐标为(),则PE=HG=GE=,OE=2x,
∵∠MOE=45°
,∴OG=GH=,∴OE=OG+GH=∴2x=…8分
∴P点坐标为(,).…9分
2、反比例函数与判断平行四边形、存在性问题(矩形)
26.(市中区一模、本题满分9分)如图1,已知双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试回答下列问题:
(1)若点A的坐标为(3,1),则点B的坐标为__________;
当x满足:
________时,≤k′x;
(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y=(k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.①四边形APBQ一定是___________;
②若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积.,(3)设点A,P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?
可能是正方形吗?
若可能,直接写出m,n应满足的条件;
若不可能,请说明理由。
26.【解答】解:
(1)点B的坐标为(﹣3,﹣1),……1分由图象可知,当﹣3≤x<0或x≥3时,≤k′x,……3分
(2)①平行四边形;
…4分②∵点A的坐标为(3,1),∴k=3×
1=3,∴反比例函数的解析式为y=,∵点P的横坐标为1,
∴点P的纵坐标为3,∴点P的坐标为(1,3),由双曲线关于原点对称可知,点Q的坐标为(﹣1,﹣3),点B的坐标为(﹣3,﹣1),如图2,过点A、B分别作y轴的平行线,过点P、Q分别作x轴的平行线,分别交于C、D、E、F,则四边形CDEF是矩形,
CD=6,DE=6,DB=DP=4,CP=CA=2,则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积=36﹣2﹣8﹣2﹣8=16.…6分(3)mn=k时,四边形APBQ是矩形,…7分不可能是正方形.…8分
理由:
当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形,此时点A、P在坐标轴上,由于点A,P可能达到坐标轴故不可能是正方形,即∠POA≠90°
.……………………9分
3、反比例函数与三角形、平行四边形的面积
26.(本小题满分9分)如图1,直线交x轴于点C,交y轴于点D,与反比例函数的图像交于两点A、E,AG⊥x轴,垂足为点G,S△AOG=3.
(1)k=;
(2)求证:
AD=CE;
(3)如图2,若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点,求平行四边形OABC的面积
26.解:
(1)k=6‥‥‥3分
(2)证明:
作EH⊥y轴,垂足为H,EH交AG于点P,
设∵AG⊥x轴EH⊥y轴∴
∴又∵
∴△∽△‥5分∴∠PAE=∠PGH∴HG∥CD
∴四边形DAGH、HECG为平行四边形∴AD=CE.‥‥‥6分
(3)由上问知:
AD=CE=AE,∵AG⊥x轴∴∴∵S△AOG=3∴S△OAC=9∴S平行四边形OABC=18‥‥‥9分
4、反比例函数与中点的证明、存在性问题(菱形)
26.(本小题满分9分、槐荫区一模)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,PB丄x轴于点B,点A与点B关于y轴对称.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式;
点C为线段AP的中点;
(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形,如果存在,说明理由并求出点D的坐标;
如果不存在,说明理由.
y
x
O
A
B
C
P
26题图
E
D
26.
(1)∵点A与点B关于y轴对称,∴AO=BO,∵A(-4,0),∴B(4,0),∴P(4,2),1分
把P(4,2)代入y=得m=8,∴反比例函数的解析式:
y=2分把A(-4,0),P(4,2)代入y=kx+b得:
,解得:
,所以一次函数的解析式:
y=x+1.3分
(2)∵点A与点B关于y轴对称,∴OA=OB,4分∵PB丄x轴于点B,∴∠PBA=90°
,
∵∠COA=90°
,∴PB∥CO,∴点C为线段AP的中点.5分(3)存在点D,使四边形BCPD为菱形.6分∵点C为线段AP的中点,∴BC=,∴BC和PC是菱形的两条边7分
由y=x+1,可得点C(0,1),过点C作CD平行于x轴,交PB于点E,交反比例函数y=的图象于点D,分别连结PD、BD,∴点D(8,1),BP⊥CD∴PE=BE=1,
∴CE=DE=4,∴PB与CD互相垂直平分,8分∴四边形BCPD为菱形.
∴点D(8,1)即为所求. 9分
二、反比例函数与一次函数的综合
1、反比例函数与一次函数的求法、两直线的位置关系、角的度数
26.(17天桥一模、本小题满分9分)如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B(0,3).过点A(5,0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=OC,tan∠OAC=
(1)求反比例函数y=和直线y=kx+b的解析式;
(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系,并说明理由;
(3)点E为x轴上点A右侧的一点,且AE=OC,连接BE交直线CA与点M,求∠BMC的度数.
(1)∵A(5,0),∴OA=5.∵∴……...1分∴∵∴
∴∴…….2分设直线AC关系式为
∵过A(5,0),
∴解得:
∴...3分
(2)∵∴∵,∴,…...4分
∴∴,..5分∴
∴.…...6分(3)…..7分连接AD,∵,∴∴四边形AEBD为平行四边形,∴
∴….8分∵,∴∵∴∴=45°
………..9分
2、反比例函数与直角三角形
26.(本小题满分9分、历城区一模)如图,已知点A(5,0),B(0,5),把一个直角三角尺DEF放在△OAB内,使其斜边FD在线段AB上,三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中∠EFD=45°
,ED=2,点G为边FD的中点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1,当点D与点A重合时,求经过点G的反比例函数y=(k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑动的过程中,经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?
如果能,求出此时反比例函数的解析式;
如果不能,说明理由.
26.解:
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,∵A(5,0),B(0,5),∴,解得:
,∴直线AB的解析式为:
y=﹣x+5;
…3分
(2)∵在Rt△DEF中,∠EFD=45°
,ED=2,∴EF=2,DF=2,∵点D与点A重合,∴D(5,0),∴F(3,2),∴G(4,1),5分∵反比例函数y=经过点G,∴k=4,∴反比例函数的解析式为:
y=;
…6分
(3)经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F;
理由如下:
∵点F在直线AB上,
∴设F(t,﹣t+5),又∵ED=2,∴D(t+2,﹣t+3),∵点G为边FD的中点.∴G(t+1,﹣t+4),…8分若过点G的反比例函数的图象也经过点F,则,t(-t+5)=(t+1)(-t+4)解得:
t=2,则F(2,3)设解析式为y=,∴m=6,∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F,这个反比例函数解析式为:
.………………9分
26.(17长清一模)如图,反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过线段OA的端点A,O为原点,作AB⊥x轴于点B,点B的坐标为(3,0),tan∠AOB=2/5.
(1)求k的值;
(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置,反比例函数y=k/x(x>0)的图象恰好经过DC上一点E,且DE:
EC=3:
1,求直线AE的函数表达式;
(3)若直线AE与x轴交于点,N,与y轴交于点M,请你探索线段AM与线段NE的大小关系,写出你的结论并说明理由.
设直线AE的函数表达式为y=kx+b则,5分解得,
∴直线AE的函数表达式为y=-x+5;
…6分(3)结论:
AM=NE.理由:
在表达式y=-x+5中,令y=0可得x=15,令x=0可得y=5∴点M(0,5),N(15,0).延长DA交y轴于点F,则AF⊥OM,且AF=3,OF=4,∴MF=OM-OF=1,∴由勾股定理得AM=.∵CN=15-12=3,EC=1,∴根据勾股定理可得EN=∴AM=NE.9分或由三角形全等证明。
26.(本题满分9分历下区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与反比例函数y=k/x在第一象限内的图象相交于点A(m,3).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)将直线y=x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B,连接AB,这时恰好AB⊥OA,求tan∠AOB的值;
(3)在
(2)的条件下,在射线OA上存在一点P,使△PAB∽△BAO,求点P的坐标.
(1)∵点A(m,3)在直线y=x上∴3=m,m=,∴点A(,3)……1分∵点A(,3)在反比例函数y=上,∴k=×
3=…2分
∴y=…3分
(2)直线向上平移8个单位后表达式为:
y=x+8
∵AB⊥OA,直线AB过点A(,3)∴直线AB解析式:
……4分
∴.∴x=.∴B(,9)…5分∴AB=4
又∵OA=6,∴tan∠AOB=6分(3)∵△APB∽△ABO,∴7分
即∴AP=8…8分∴OP=14∴P(7,7)…9分