南京市届高三年级第三次模拟考试及答案.docx
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南京市届高三年级第三次模拟考试及答案
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学2018.05
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－4＝0}，则A∪B=．
2．已知复数z的共轭复数是．若z（2－i）＝5，其中i为虚数单位，则的模为．
S←1
I←1
While I＜8
S←S＋2
I←I＋3
EndWhile
PrintS
3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为．
（第4题图）
4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．
5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为．
6．若实数x，y满足则的取值范围为．
7.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
若l⊥α，l⊥β，则α∥β；若l⊥α，α⊥β，则l∥β；
若l∥α，l⊥β，则α⊥β；若l∥α，α⊥β，则l⊥β．
其中真命题为（填所有真命题的序号）．
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为．
9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为．
10．若f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且f（x）＝则f（a+1）的值为．
11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：
x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为．
12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若·＝5，·＝－，则·的值为．
13．若正数a，b，c成等差数列，则＋的最小值为．
14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f（x）＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．
（1）求cos2α的值；
P
（2）求2α－β的值.
x
（第15题图）
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点．
（1）求证:
平面PBC⊥平面ABC；
（2）若PD∥平面AEM，求PM的长．
17．（本小题满分14分）
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为．若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（≤θ＜）．
（1）试用θ表示BD的长；
（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为.已知过点M（，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问x轴上是否存在定点N，使得·为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'（x）为f（x）的导函数．
（1）若f（x）的极大值为0，求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋6x，求g（x）在[0，1]上取到最大值时x的值；
（3）若关于x的不等式f（x）≥f'（x）在[，]上有解，求满足条件的正整数a的集合．
20．（本小题满分16分）
若数列{an}满足：
对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．
（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：
数列{an}为“T数列”；
（2）若公差为d的等差数列{an}为“T数列”，求d的取值范围；
（3）若数列{an}为“T数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜a－a＜an＋1，求数列{an}的通项公式．
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题2018.05
B．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵A＝，B＝，若直线l:
x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，），圆心C为直线sin（θ－）＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（1，a）（a＞0）是抛物线C上一点，且AF＝2．
（1）求p的值；
（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．
23．（本小题满分10分）
已知fn（x）＝Ax（x＋1）…（x＋i－1），gn（x）＝A＋x（x＋1）…（x＋n－1），其中x∈R，n∈N*且n≥2．
（1）若fn
（1）＝7gn
（1），求n的值；
（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn（x）＋gn（x）＝0所有解的集合．
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{－3，－2，2}2．3．1504．75．6．[，2]7．①③
8．9．410．211．x＋2y－4＝012．－313．14．[e，4e]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
解：
（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，……2分
所以cos2α＝2cos2α－1＝．……4分
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．……6分
又因为β为锐角，所以cosβ＝．……8分
因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，…10分
所以sin（2α－β）＝×－×＝．…12分
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．……14分
16．（本小题满分14分）
（图1）
O
C
B
P
A
C
B
M
D
E
（1）证明：
如图1，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，
所以PE⊥BC，……2分
且PE＝，同理AE＝．
因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分
因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，
所以PE⊥平面ABC．
因为PE平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．……7分
（2）解法一
如图1，连接CD交AE于O，连接OM．
因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，
所以PD∥OM，…………9分
所以＝．…………11分
因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，所以O为ABC重心，所以＝，
所以PM＝PC＝．………14分
解法二
如图2，取BE的中点N，连接PN．
因为D，N分别为AB，BE的中点，
所以DN∥AE．
又DN平面AEM，AE平面AEM，
所以DN∥平面AEM．
又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，
所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分
又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，
所以ME∥PN，所以＝．………………………………11分
因为E，N分别为BC，BE的中点，所以＝，所以PM＝PC＝．…………14分
17．（本小题满分14分）
………
解：
（1）连结DC．在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，
所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝2．………2分
因为BC为直径，所以∠BDC＝，所以BD＝BCcosθ＝2cosθ．…………4分
（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝2cosθ，
所以＝＝，所以DF＝4cosθsin（＋θ），……………6分
且BF＝4cosθ，所以DE＝AF=4－4cosθ，…………8分
所以DE＋DF＝4－4cosθ＋4cosθsin（＋θ）=sin2θ－cos2θ＋3＝2sin（2θ－）＋3．………12分
因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．…13分答：
当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．…………14分
18．（本小题满分16分）
解
（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝＝a，………………2分
所以椭圆C的方程为＋＝1．
因为椭圆C经过点P（，），所以＋＝1，
所以b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．…………………………………4分
（2）解法一
设N（n，0），当l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－＝，
则＝（－n）2－y2＝（－n）2－＝n2－n－，…………6分
当l经过左､右顶点时，＝（－2－n）（2－n）＝n2－4．
令n2－n－＝n2－4，得n＝4．………………8分
下面证明当N为（4，0）时，对斜率为k的直线l：
y＝k（x－），恒有＝12．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，得（4k2＋1）x2－k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，……………10分
所以＝（x1－4）（x2－4）＋y1y2
＝（x1－4）（x2－4）＋k2（x1－）（x2－）
＝（k2＋1）x1x2－（4＋k2）（x1＋x2）＋16＋k2……………12分
＝（k2＋1）－（4＋k2）＋16＋k2
＝＋16
＝＋16＝12．
所以在x轴上存在定点N（4，0），使得为定值．………………16分
解法二
设N（n，0），当直线l斜率存在时，设l：
y＝k（x－），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得（4k2＋1）x2－k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，……………6分
所以＝（x1－n）（x2－n）＋y1y2＝（x1－n）（x2－n）＋k2（x1－）（x2－）
＝（k2＋1）x1x2－（n＋k2）（x1＋x2）＋n2＋k2
＝（k2＋1）－（n＋k2）＋n2＋k2………………8分
＝＋n2
＝＋n2．………………12分
若为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数，
则（－n－）k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，
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