4命题逻辑的自然演译系统Word下载.docx

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φ→ψ

因為φ在第n個步驟的證明中會去前提化，所以用括號[]括起來。

應用上述規則後被去前提化的假設φ以自然數n加以標示，表示在第n個步驟時會應用這個規則，同時將φ去前提化。

在自然演繹系統中，又稱之為條件句的引進規則（簡稱→I）。

除了引進規則之外，還有所謂的語句連詞的消去規則（eliminationrule）。

例如條件句的消去規則：

φ

建立自然演繹系統的目標是將這類的推理有系統的普遍化，也就是針對語句連詞找出成對的引進規則與消去規則。

在公理系統中，導出都是由公理開始的，經由公理從推論規則導出的是定理，定理是由公理導出的句式，所以‘├φ’是公理系統中導出的基本概念。

在自然演繹系統中，導出則是由假設開始的。

自然演繹系統是由假設開始，所以‘Γ├φ’才是基本的，定理‘├φ’是特例。

自然演繹系統不需要預設公理，所以不需要對公理加以證成。

構成自然演繹系統的一組規則是基於語句連詞的語意性質而設立的。

相對於公理系統，由這種規則所進行的邏輯導出（推理）是直接且自然的。

自然演繹系統中的推理也比較簡化而且容易建立。

4.2自然演繹系統的推論規則

自然演繹系統有許多不同的表達方式，常見的兩種是：

（1）提出基本推論規則，以引進規則與消去規則這兩類的推論規則為主，加上RAA（歸謬法）等規則。

（2）將推論規則不分基本與衍生（derived）一併提出，取而代之的是語句涵蘊規則與語句等值規則的區分。

這裏將選擇第一種方式，另外會在附錄中依據第二種表達方式列出一些衍生規則。

4.2.1自然演繹系統的原型

自然演繹系統中的結構規則與上一章所提出來的相同：

（1）假設規則（Ass.）φ├φ

（2）弱化規則（Thin）如果Γ├φ，則Γ,ψ├φ

（3）捷徑規則（Cut）如果Γ├φ且φ,Δ├ψ，則Γ,Δ├ψ

我們先將自然演繹系統的一個原型（prototype）描述如下：

（→E）ModusPonendoPonens（MP）φ,φ→ψ├ψ

（→I）Ruleofconditionalproof（CP）假定φ├ψ，則可以得到├φ→ψ

（˄I）Ruleof˄-introductionφ,ψ├φ˄ψ

（˄E）Ruleof˄-eliminationφ˄ψ├φ；

φ˄ψ├ψ

（˅I）Ruleof˅-introductionφ├φ˅ψ；

ψ├φ˅ψ

（˅E）Ruleof˅-elimination如果Γ,φ├θ，且Δ,ψ├θ，則Γ,Δ,φ˅ψ├θ

這一組推論規則再加上前述的結構規則就成為自然演繹系統的一個原型。

（→E）是上一節介紹的條件句的消去規則，（→I）是條件句引進規則。

底下我們先定義什麼是論證的證明。

定義4.2.1（論證的證明）

論證的證明意謂著我們可以從一組前提的集合（可以是空集合），經由形變規則（結構規則與推論規則）導出結論。

我們還會使用邏輯歸結（logicalconsequence）的概念，其定義如下：

定義4.2.2（邏輯歸結）

當句串Γ;

φ是一有效論證時，可以說φ是Γ的邏輯歸結。

可以用一簡單的證明來例示條件句的消去規則（→E）與並言的引進規則（˄I），論證P,P→Q├P˄Q的證明：

{1}

（1）PP

{2}

（2）P→QP

{1,2}（3）Q1,2,→E

{1,2}（4）P˄Q1,3,˄I

論證P→Q,Q→R├P→R的證明可以例示（→I）規則：

{1}

（1）P→QP

{2}

（2）Q→RP

{3}（3）PA

{1,3}（4）Q1,3,→E

{1,2,3}（5）R2,4,→E

{1,2}（6）P→R3,5,→I

第三步驟是依據假設規則（A）而假設的句式，可以當作臨時前提，所以左側給予前提號3。

右側以A表示它是一假設。

第六步驟是條件句引進規則（→I）的例示，要注意的是第三個前提P要去前提化，所以第六步驟的前提只剩下{1,2}。

以論證P˄Q,Q→R˄S├S來例示並言消去規則（˄E）：

{1}

（1）P˄QP

{2}

（2）Q→R˄SP

{1}（3）Q1,˄E

{1,2}（4）R˄S2,3,→E

{1,2}（5）S4,˄E

（˅I）與（˅E）分別是選言的引進規則與消去規則。

應用（˅I）規則，我們隨時可以從P導出P˅Q。

這和（˄I）規則不同，我們需要兩個命題P與Q，才可以導出P˄Q。

可以用論證P,P˅Q→R├R˅S來例示（˅I）：

{1}

（1）PP

{2}

（2）P˅Q→RP

{1}（3）P˅Q1,˅I

{1,2}（4）R2,3,→E

{1,2}（5）R˅S4,˅I

例題4.1：

證明P→Q,Q˅R→S├P→S。

（˅E）的例子比較複雜，可以用論證P˅Q,P→R,Q→R├R例示：

{1}

（1）P˅QP

{2}

（2）P→RP

{3}（3）Q→RP

{4}（4）PA

{2,4}（5）R2,4,→E

{6}（6）QA

{3,6}（7）R3,6,→E

{1,2,3}（8）R1,4,5,6,7,˅E

第四與第六步驟是（˅E）規則所需要用到的假設。

第五步驟的句式是第二與第四步驟的邏輯歸結；

第七步驟的句式是第三與第六步驟的邏輯歸結。

在這個證明中，（˅E）規則所要用到的步驟是1,4,5,6,7，前提中的{4,6}必須去前提化，所以結論的前提剩下{1,2,3}。

4.2.2否定號的一些規則

應用在否定號上的規則有許多不同主張，我們選擇的規則比較接近博斯塔克（DavidBostock）。

一共有五條：

DNI、DNE、RAA、TND、EFQ。

（DNI）φ├¬

¬

（DNE）¬

φ├φ

（RAA）如果φ├ψ˄¬

ψ；

則可以得到├¬

（TND）如果φ├ψ且¬

φ├ψ；

則可以得到├ψ

（EFQ）φ,¬

φ├ψ

（DNI）是雙否定的引進規則，（DNE）是雙否定消去規則。

我們會在RAA規則的例示之後，再例示DNE規則。

（RAA）是所謂的歸謬法（reductioadabsurdum），以論證P→Q,¬

Qê

P來例示：

{2}

（2）¬

QP

{3}（3）PA

{1,3}（4）Q1,3,→E

{1,2,3}（5）Q˄¬

Q2,4,˄I

{1,2}（6）¬

P3,5,RAA

以句式P這個假設導出矛盾句式Q˄¬

Q，然後將導出這個矛盾的假設加以否定而得到¬

P。

一句式與自己的否定句式以並言連起來，是一矛盾句。

根據（RAA）規則，如果一前提（或假設）會導出矛盾，則可以導出該前提的否定。

被否定的前提需要去前提化。

接下來例示DNE規則，論證¬

Q,¬

P→Q├P的證明：

{1}

（1）¬

P→QP

{3}（3）¬

PA

{2,3}（4）Q2,3,→E

Q1,4,˄I

¬

P3,5,RAA

{1,2}（7）P6,DNE

當我們使用RAA規則，以前提3的否定為新的結論時，得到的是¬

P，而不是P。

因為前提3的否定是在¬

P前再加上一個否定號，這才稱為前提3的否定，而不是拿掉否定號。

（TND）（tertiumnondatur）意謂著排中律的邏輯歸結必然為真。

排中律├φ˅¬

φ表示一句式為真時，它的否定為假；

這一句式為假時，它的否定為真。

一句式與它的否定之間沒有第三種可能。

φ˅¬

φ是邏輯真理，是恆真句，恆真句的邏輯歸結也一定是恆真句。

也就是說，如果φ˅¬

φ├ψ，則├ψ。

我們可以用（TND）來證明下面這個論證P→Q,¬

P→Q├Q

P→QP

{5}（5）¬

PA

{2,5}（6）Q2,5,→E

{1,2}（7）Q3,4,5,6,TND

這個證明中的（3）與（5）是兩個臨時前提，使用（TND）規則時，要將這兩個前提去前提化。

這表示（TND）所導出句式的真不是由臨時前提的真所保證的。

（EFQ）（exfalsoquodlibet）意謂不一致的前提可以導出任何句式。

論證P˅Q,¬

P├Q是一選言三段論（disjunctivesyllogism），它的證明可以用來例示（EFQ）規則：

PP

{2,3}（4）Q2,3,EFQ

{5}（5）QA

{1,2}（6）Q1,3,4,5,˅E

例題4.2：

證明¬

P→Q├¬

（¬

P˄¬

Q）（建議：

可以用RAA）。

4.2.3雙條件句的規則

有些自然演繹系統不把雙條件句當作基本語句連詞，只用雙條件句的定義來處理它。

這裏將雙條件句當作基本語句連詞，有一對規則：

（↔E）如果Γ├φ↔ψ，則Γ├（φ→ψ）˄（ψ→φ）

（↔I）如果Γ├（φ→ψ）˄（ψ→φ），則Γ├φ↔ψ

雷蒙（E.J.Lemmon）把雙條件句用定義加以處理：

φ↔ψ若且唯若（φ→ψ）˄（ψ→φ）。

雙條件句規則的例示論證：

P↔Q,Q├P。

{1}

（1）P↔QP

{2}

（2）QP

{1}（3）（P→Q）˄（Q→P）1,↔E

{1}（4）Q→P3,˄E

{1,2}（5）P2,4,→E

4.2.4推論規則的總結

除了雙條件句的引進規則（↔I）與消去規則（↔E）之外，將上述的規則做一個表：

（˄I）

（˄El）

φ˄ψ

（˄Er）

[ψ]（n）

（˅Il）

（˅Ir）

（˅E）

φ˅ψ

θ

（→I）

（→E）