电磁场与电磁波第章习题解答Word格式.docx
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已知,,因为,所以应有
即⑴
又因为;
所以;
⑵
由⑴,⑵解得
【习题1.5解】由矢量积运算规则
取一线元:
则有
则矢量线所满足的微分方程为
或写成
求解上面三个微分方程:
可以直接求解方程,也可以采用下列方法
(1)
(2)
由
(1)
(2)式可得
(3)
(4)
对(3)(4)分别求和
所以矢量线方程为
【习题1.6解】
已知矢量场
若是一个无源场,则应有div=0
即:
div=
因为
所以有
div=az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy=x(2+c)+z(a-2)+b+1=0
得a=2,b=-1,c=-2
【习题1.7解】
设矢径的方向与柱面垂直,并且矢径到柱面的距离相等(r=a)
所以,
【习题1.8解】
已知,
而
又
所以
+
=
【习题1.9解】
已知
由于场的旋度处处等于0,所以矢量场为无旋场。
【习题1.10解】
令ln()=C,=,=1+4+9=14
因此C=ln14
=14为等值面方程
【习题1.11解】
求函数=在点M(2,3)处沿曲线y=朝x增大一方的方向导数
解:
在L取一点(x,y)y=-1()
沿L的方向的方向余弦为:
c
因为则(x,y)(2,3)
所以
又因为=
【习题1.11解2】
曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为:
因此,方向余弦为
所以所求的方向导数为
【习题1.12解】
标量场
该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面
求切平面的方程
该平面的法线向量为
根据平面的点法式方程,得平面方程为
整理,得:
【习题1.13解】
【习题1.14解】
矢量的方向余旋为
满足题意方向导数:
【习题1.15解】
【习题1.16解】
【习题1.17解】
【习题1.18解】
(1)证明(+)=
(++
=
=(+(
得证
(2)
=+
得证
【习题1.19解】
【习题1.20解】
【习题1.21解】
【习题1.22解】
证明:
令
则左边=
又由题得
同理有
故等式右边=—
=—
故左边=右边,得证
【习题1.23解】
【习题1.24解】
证毕。
【习题1.25解】
由题意可知:
左=
=+]
即证
【习题1.26解】
(1)解:
=-sinxsiny=-sinxsiny
=sinxsiny
+=;
++=-(+-)sinxsiny=0;
满足拉普拉斯方程。
(2)解:
在圆柱形坐标中,拉普拉斯算子可表示为:
=-
=
=0;
=0;
满足拉普拉斯方程;
【习题1.27解】
【习题1.28解】
【习题1.29解】
【附】Page14,圆柱坐标系中的散度的推导。
在圆柱坐标系中
div=
∴
(注:
式中推导利用了)