山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第4章 三角形中的分角线Word文档格式.docx

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事实上，

（1）如图，作的外接圆与直线，分别交于点，．联结，，则．

由∽，有．①

由∽，有．②

由①÷

②并注意得．③

又由∽，有．

于是

．

（2）同

（1）中证法即得．

（3）由

（1）与

（2）中两式相乘即得．

还需特别指出的是：

由

（1）、

（2）中两式，有，即有

这给出了性质必要性的另证．

性质的充分性也可由三角知识推导．

由，并令，则，将三角式积化和差及和差化积，有，亦即有．于是．

而，，故．

对于图，类似于证法，可证得的充要条件是．

此时，我们可得如下推论：

推论设是的边上一点（异于端点），则．

推论设是的边上一点（异于端点），令，，则的充要条件是．

此即为角平分线的性质定理与判定定理．

推论设、是的边上（异于端点）的两点，令，，，

则∶∶．

事实上，由及相除即得．

推论设是的边上的中点，是边上另一点，令，，，则的充要条件是

或．

事实上，这可由性质及推论即得．

此时，为的边上的中线．当时，直线与关于的平分线对称，我们称为的一条共轭（或陪位）中线．于是，我们有推论的等价表述：

设是的边上一点（异于端点），则为的一条共轭中线的充要条件是或．

对于推论．我们还有如下的等价结论：

推论设是的边上的中点，是边上另一点（异于端点），令，

，，则的充要条件是分别过，点的的外接圆的两切线的交点及、三点共线．

证明充分性．如图，当，，三点共线时，设直线与交于点，联结，，则由

∽，∽，有

，即有．

对四边形应用托勒密定理，有

，即有，亦即．

注意到，则知∽，从而，故．

必要性．如图，当时，设直线交的外接圆于，联结，，则由∽，有，即，亦即．

又对四边形应用托勒密定理，有．

于是，．

运用三角形正弦定理，有．

延长交于点，延长交于点，则，．

从而，有．（*）

由于

注意到（*）式及，则．

由塞瓦定理的逆定理，知、、三线共点于，即知直线与重合．

故、、三点共线．

其必要性也可这样来证：

如图，由及为中点，直线交圆于，由充分性中证明，知四边形满足条件．（**）

设过的切线与直线交于，过的切线与直线交于．

由∽，有．

于是．

同理．

注意到（**）式有，

从而，

即．

从而与重合，亦与重合．

由推论和推论，我们可得到：

推论设是的边上（异于端点）一点，则为的一条共轭（或陪位）中线的充要条件是分别过，的的外接圆的两切线的交点，，三点共线；

或（或）的充要条件是分别过，的的外接圆的两切线的交点及，三点共线．

推论也还有如下的等价说法：

推论设是的边上一点，则为的一条共轭（或陪位）中线的充要条件是在直线与的外接圆的交点及点处两切线的交点、、三点共线；

或的充要条件是在直线与外接圆的交点及点处两切线的交点及、三点共线．

证明如图，设为的中点，直线交的外接圆于点，联结．设为的外心，则（与不重合时）．

充分性．当、、三点共线时，即知、、、、五点共圆，从而．

于是，，即有．

故，即知为的共轭中线．

必要性．当为的共轭中线时，即有．

设直线与过点的切线交于点，直线与过点的切线交于点．

此时，即．从而，

，即知，，，四点共圆，亦即知为直线与的交点；

，即知，，，四点共圆，亦即知为直线与的交点．

于是，知与重合，重合于点，故，，三点共线．

又若或中，有一个点为在边上的射影时，则有结论：

性质设，是的边上（异于端点）的两点，令，，，则的充要条件是当为点在边上的射影时，直线过的外心；

或直线过的外心时，点为在边上的射影．

证明如图，设为的外心，直线交于点，联结．

下面仅证当点为点在边上的射影情形．

充分性．当直线过的外心时，作于，联结，则．

于是，由等角的余角相等，有．故．

必要性．当时，即当时，延长交于点，则由，知∽，从而．即知为其直径．故直线过的外心．

当直线过的外心时，也可类似地推证．

在图中，由∽，有，即．由此可得推论：

推论三角形一边上的高与外接圆的直径的积等于其他两边的乘积．

推论三角形的一内角平分线上从顶点到对边交点及从顶点到外接圆交点的两线段的积等于夹这角的两边的乘积．

如果，我们再考虑的外接圆与的外接圆的关系，则又有结论：

性质设、是的边上（异于端点）的两点，令，，，则的充要条件是的外接圆与的外接圆内切于点．

证明充分性．如图，当两个外接圆内切于点时．

过作两圆的公切线，设的外接圆分别与，交于点，，联结，则

从而，即有，亦即有

．故．

必要性．

如图，设，分别为，的外心，与，分别交于点，．

当时，即时，则有，从而．

过作的切线，过作的切线，则

，即知与重合．

故与在点相内切．

此时，我们又有如下推论：

推论设，是的边上（异于端点）的两点，则的充要条件是的外接圆与的外接圆内切于点．

下面，给出应用上述结论处理一些竞赛题的例子：

例（2010年第1届陈省身杯全国高中数学奥林匹克题）在中，，分别为边，的中点，与交于点，的外接圆与的外接圆交于点，的延长线与的外接圆交于点．求证：

证明如图，联结，，，，，则由题设有，，知∽（或点是完全四边形的密克尔点即得）．从而当，分别为，的中点时，有

．①

又由，即（，分别为点到、的距离），

有．②

于是，由①，②有．

此时，由性质中的三角形式，即知

从而，故．

例（2010年国家集训队测试题）如图，设凸四边形的两组对边的延长线分别交于点，，的外接圆与的外接圆交于，两点．

求证：

的充分必要条件是．

证明如图．由题设有，，知∽（同例亦可参见练习二十四第11题），有．①

此时由，即知，，，四点共圆．

从而，有，．②

由①，②又有．③

充分性．

当时，有，即有

，从而．④

于是，由③，④，有．从而由性质中的三角形式，知

当时，则由性质中的三角形式，知．

注意到③式，有．⑤

设点到，的距离分别为，，则．⑥

于是，由⑤，⑥有，即知．故．

由例（例）可得到结论：

设为完全四边形的密克尔点（参见图），则的充要条件是．

例（2006年福建省竞赛题）如图，为的外接圆，，分别为中线和角平分线，过点，的的切线相交于点，联结与和分别交于点，．求证：

点是的内心．

证明如图，联结，．由推论，即知

，从而知平分．

此时，由∽，知．①

又由∽，∽，有

，即有．②

于是由推论，有．又由推论，有．

注意到，知

∽，即有．③

由①，③即知平分．

故点是的内心．

满足②式（也可参见推论注中的（**）式）的四边形即为调和四边形（见第章）．

例（2008年蒙古国家队选拔考试题）已知梯形内接于圆，两底，满足，过点的切线与交于点，过的切线切圆于异于的另一点，与圆交于点，过作的平行线，分别与，交于点，．证明：

为的中点．

证明如图，联结，，．由例证明中的②式，有．

联结，设与交于点，则由推论，知．

于是，由推论，取的中点，知．

联结，则，则．

联结，．由，有

于是，知，，，四点共圆．

因此，，从而．故为的中点．

题中条件梯形可改为圆内接四边形．上述证明中未利用的条件．

例（2006年罗马尼亚国家集训队测试题）在凸四边形中，记为与的交点．如果为的陪位中线，为的陪位中线．证明：

为的陪位中线．

证明如图，不失一般性，不妨设过，两点的的外接圆的切线交于点（否则为的外心，则结论显然成立）．

当是的陪位中线时，由推论，知

．此时，又由推论知，，，共线．

没直线交的外接圆于，则由例证明中的②式，知

①

又为的陪位中线，由推论，知

．于是，即．②

于是，由①，②即知与重合，即，，，四点共圆．

此时，由∽，∽，有，．

上述两式相乘，得．

又将②式代入上式，即得．

注意到推论，即知为的陪位中线．

例（2005年国家集训队测试题）设锐角的外接圆为，过点，作的两条切线，相交于点．联结交于点，点，分别在边，上，使得，．

（1）求证：

，，，四点共圆；

（2）若记过，，，的圆的圆心为，类似地定义，，则直线，，共点．

证明

（1）如图，由推论知，有．

又由，，有，．

由割线定理的逆定理，知，，，四点共圆．

（2）显然，为的一条共轭中线．设的另两条共轭中线，交于点，由共轭中线的性质（即推论）及塞瓦定理的逆定理，知也过点．

如图，过分别作，，，交点如图所示．

由于与位似，则有．

从而，由

（1）的证法知，，，四点共圆．

同理，，，，及，，，分别四点共圆．

于是，

，即知，，，，五点共圆．

由对称惟，知也在此圆上，即知，，，，，六点共圆．

设此六点圆的圆心为，由于与的位似中心是，故直线过点．

同理，直线，也过点．故直线，，共点．

例（2000年波兰数学奥林匹克题及2006年罗马尼亚国家队选拔考试题）在等腰中，为底边的中点．

（1）在内有一点，使得，则．

（2）请在三角形内找出满足的点的轨迹．

解

（1）如图，延长交于点．

要证，只需证即可．

延长交于，延长交于，令，，，．

对及点应用塞瓦定理，再由线段比转化为面积比有

，①

（或直接用塞瓦定理的角元形式即得）．即．

又，及，②

从而．

于是，由性质中的线段式或直接由推论，即知．

（2）如图，显然点在线段（异于，点）时，有．

当点不在线段上时，延长交于点．当时，则有．由推论．知．③

令，，，，，则

，，且由②，③式，有．④

类同于①式，有．⑤

由④，⑤式，有．

将上述三角式积化和差后再和差化积，有．

因而，由，有，此即为点在上情形．前面也已讨论．

由，有．此时，，．

又由弦切角定理的逆定理，知过点，，三点的圆分别在，处与，相切．于是，知此时点的轨迹为与，分别切于，的圆在内部的圆弧．

由对称性，知也在此圆上，即知，，，，，六点共圆．

例（2004年全国女子数学奥林匹克题）给定锐角，点为其外心，直线交边于点．动点，分别位于边，上，使得，，，四点共圆．

线段在边上的射影的长度为定值．

证明如图，过作交于点．

令，，则由性质，知．

延长交于点，则为的直径．令的直径为，联结，，，，，运用正弦定理及托勒密定理，有

从而，．（*）

设在上的射影为，设与的夹角为．

又，注意到为定值，为定值，知为定值．

由于，知为定值．

类似于（*）式的证明，可证明2000年全国高中数学联赛加试题：

在锐角的边上有两点，满足，作于点，于点，延长交的外接圆于点．证明：

（参见练习题4中第4题）．

例在锐角中，，边上的高，相交于点．设为的外心，则为的垂心的充要条件是．

证明如图，显然，为的垂心．

联结，，，，则由，，，四点共