复杂抽屉原理.doc

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奥数周周练——复杂抽屉原理

1．证明：

任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．

2．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?

3．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

4．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

5．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?

如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．

6．8个学生解8道题目．

（1）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．

（2）如果每道题只有4个学生解出，那么

（1）的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.

7．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?

8.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.

【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：

基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。

问：

要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【例20巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：

回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．

【例24巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．

【例25】（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．

【例27】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?

【例29】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？

【例34】有苹果和桔子若干个，任意分成堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

【例36】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。

证明：

在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

【例37】在一个直径为厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于厘米

【例37巩固】平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：

在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

【例38】9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。

证明：

这9条直线中至少有3条通过同一个点。

【例39】如图，能否在行列的方格表的每一个空格中分别填上，，这三个数，使得各行各列及对角线上个数的和互不相同？

并说明理由．

【例39巩固】在的方格纸中，每个方格纸内可以填上四个自然数中的任意一个，填满后对每个“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

【例39巩固】用数字1，2，3，4，5，6填满一个的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个正方格内的四个数字的和称为这个正方格的“标示数”．问：

能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？

如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由．

【例39巩固】能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？

对你的结论加以说明．

【例40巩固】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题）如右图、、、四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？

请说明理由.

【例41巩固】8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：

经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．

【例42巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：

一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立．

【例43】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级道题，并且至少有道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现次．本届活动至少要准备道决赛试题．

【例44巩固】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）有红、黄、白三种颜色的小球各个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有个小球是同色的？

【例45】（第六届《小数报》数学竞赛初赛）有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子、黄筷子、紫筷子和花筷子各25根。

在黑暗中至少应摸出_____根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（每两根花筷子或两根同色的筷子为一双）。

【例47】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。

从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。

这时，两袋中各有多少个球？

【例48巩固】一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？

【例49】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）在张卡片上不重复地编写上~，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被整除？

【例50】一副扑克牌，共54张，问：

至少从中摸出多少张牌才能保证：

⑴至少有5张牌的花色相同；⑵四种花色的牌都有；⑶至少有3张牌是红桃．（4）至少有2张梅花和3张红桃．

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