精美编排高中数学一二轮复习第十二篇排列组合二项式定理平面向量等专题7讲合集含答案.docx

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精美编排高中数学一二轮复习第十二篇排列组合二项式定理平面向量等专题7讲合集含答案

第十篇

计数原理

第1讲分类加法计数原理与

分步乘法计数原理

A级　基础演练（时间：

30分钟　满分：

55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1＠甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（　　）＠

A＠6种B＠12种C＠24种D＠30种

解析　分步完成＠首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24（种），故选C＠

答案　C

2＠（·琼海模拟）某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：

（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；

（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭＠则每天不同午餐的搭配方法总数是（　　）＠

A＠210B＠420C＠56D＠22

解析　由分类加法计数原理：

两类配餐方法和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为：

CC＋CC＝210＠

答案　A

3＠（·海口模拟）某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团＠若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团＠且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（　　）＠

A＠72B＠108C＠180D＠216

解析　设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：

（1）从乙、丙、丁、戊中选一人（如乙）参加“围棋苑”，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人（如丙、丁）并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法，故共有CCA种参加方法；

（2）从乙、丙、丁、戊中选2人（如乙、丙）参加“围棋苑”，有C种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法；

综合

（1）

（2），共有CCA＋CA＝180种参加方法＠

答案　C

4＠如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”＠在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（　　）＠

A＠60B＠48C＠36D＠24

解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B＠

答案　B

二、填空题（每小题5分，共10分）

5＠（·抚州模拟）从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有________条（用数字表示）＠

解析　因为直线过原点，所以C＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A＝30＠

答案　30

6＠数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种＠

解析　必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法＠对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法＠

答案　12

三、解答题（共25分）

7＠（12分）如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中

（1）共有多少个三角形？

（2）共有多少个平行四边形？

解　

（1）每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形＠

（2）每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CC＋CC＋CC个平行四边形＠

8＠（13分）设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P（a，b）是坐标平面上的点，a，b∈M＠

（1）P可以表示多少个平面上的不同的点？

（2）P可以表示多少个第二象限内的点？

（3）P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？

解　

（1）分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N＝6×6＝36（个）＠

（2）分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N＝3×2＝6个＠

（3）分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N＝6×5＝30个＠

B级　能力突破（时间：

30分钟　满分：

45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1＠从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（　　）＠

A＠300种B＠240种C＠144种D＠96种

解析　甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有CA－CA＝240＠

答案　B

2＠（·安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品＠已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（　　）＠

A＠1或3B＠1或4C＠2或3D＠2或4

解析　利用排列、组合知识求解＠设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示＠若任意两位同学之间都进行交换共进行C＝15（次）交换，现共进行13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：

（1）由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人＠

（2）由4人构成的2次交换，如a－b和c－e之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人＠故选D＠

答案　D

二、填空题（每小题5分，共10分）

3＠（·潍坊期中）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个＠

解析　当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理得共有“好数”C＋CC＝12个＠

答案　12

4＠将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种＠

解析　由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起＠如图中的△，当△全为1时，有2种（即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当△全为2或3时，分别有2种，所以共有6种；当△分别为1,2,3时，也共有6种＠共12种＠

答案　12

三、解答题（共25分）

5＠（12分）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色＠则不同的涂色方法共有多少种？

解　先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：

一类是B与E或D同色，共有2×（2×1＋1×2）＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×（1×1＋1×2）＝3种涂法＠所以涂色方法共有24×（8＋3）＝264（种）＠

6＠（13分）从1,2,3，…，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数＠一共可以得到多少个不同的对数值？

其中比1大的有几个？

解　在2,3，…，9这8个数中任取2个数组成对数，有A个，在这些对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重复计数4个；又1不能作为对数的底数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0＠所以，可以得到A－4＋1＝53个不同的对数值＠

要求对数值比1大，分类完成；底数为2时，真数从3,4，5，…，9中任取一个，有7种选法；底数为3时，真数从4，5，…，9中任取一个，有6种选法……依次类推，当底数为8时，真数只能取9，故有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（个）＠但其中log24＝log39，log23＝log49，所以，比1大的对数值有28－2＝26（个）＠

特别提醒：

祝考生考出好成绩

第2讲排列与组合

A级　基础演练（时间：

30分钟　满分：

55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1＠（·全国）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）＠

A＠12种B＠18种C＠24种D＠36种

解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法＠再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法＠因此共有A·A·1＝12（种）不同的排列方法＠

答案　A

2＠A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有（　　）＠

A＠24种B＠60种C＠90种D＠120种

解析　可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A＝60（种）＠

答案　B

3＠如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝（　　）＠

A＠2nB＠2n－1

C＠2n－2D＠（n－1）2n－1

解析　（特例法）当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；

当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D＠故选B＠

答案　B

4＠某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目＠如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（　　）＠

A＠42B＠30C＠20D＠12

解析　可分为两类：

两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法＠由分类计数原理共有12＋30＝42种排法（或A＝42）＠

答案　

二、填空题（每小题5分，共10分）

5＠（·汕头调研）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况＠

解析　每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况＠

答案　63

6＠（·郑州模拟）从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数＠

解析　a，b