微分方程习题及答案Word下载.docx
《微分方程习题及答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程习题及答案Word下载.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
4.求下列微分方程的特解
（1）；
dxx-y
22
（2）（y-3x）dy+2xydx=0,y=1.
5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程
xy‘+y=y（lnx+Iny）
y，+1
X-y
y（xy+1）dx+x（1+xy+x2y2）dy=0
（t=0）速度
7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时为0,求物体速度v与时间t的函数关系.
&
有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉
40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P（t）随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常?
9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
3一阶线性方程与贝努利方程
1求下列微分方程的通解
（1）
（X2-1）/+2xy-COSx=0；
yinydx+（x—1ny）dy=0;
（5）dy=4^ysinx-1dx
（1）y’—ytanx=secx,y=0；
⑵小工=^^2^,心=1
xx
3.一曲线过原点，在（X,y）处切线斜率为2x+y，求该曲线方程.
4.设可导函数W（x）满足方程
®
（x）COSX+2L®
（t）sintdt=X+1，求®
（x）.
5.设有一个由电阻R=100，电感L=2H，电流电压E=20sin5tV串联组成之电路,合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.
6.求下列贝努利方程的通解
-.y26
y十一=xy
X
y‘=y4COSX+ytanx
dx,2.c
y——+x—xIny=0
dy
1
-xy2y=—+xy2
x2-1
4可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。
（1）y\y7x;
（2）于=竽匚；
⑶yyJ2y2=0（4）y3y—1
x+1
2.求下列方程的特解
门wJySylxrO’ylx」一1
3•求y"
=x的经过（0,1）且在与直线y=—+1相切的积分曲线
2
K可取正或负
4•证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.
证明：
——=K,（K工0,K=0可推出y是线性函数;
（1+y严
5•枪弹垂直射穿厚度为6的钢板，入板速度为a，出板速度为b（aAb），设枪弹在板内受
到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少?
5高阶线性微分方程
1.已知yi（X）,y2（x）是二阶线性微分方程y"
+P（x）y'
+q（x）y=f（x）的解，试证yi（x）-y2（x）是yPp（x）y'
+q（x）y=0的解
2.已知二阶线性微分方程y"
+p（x）y'
+q（x）y=f（x）的三个特解y1=x,y^x2,y^e3x
试求此方程满足y（0）=0,y（0）=3的特解.
3.验证=x+l,y2=eX+1是微分方程（x-1）y"
-xy'
+y=1的解，并求其通解.
6二阶常系数齐次线性微分方程
y"
+6y'
+13y=0;
y+4y，+4y=0;
y（4）+2y"
+y=0.
（1）y"
—4y，+3y=0,yx£
=6,y'
x£
=10
（2）y“+25y=0,y
计空气阻力条件下，求角位移0随时间t变化的规律.
A'
p
mg
浮筒质量.。
x（t）
P（t）
7二阶常系数非齐次线性微分方程
（1）y"
+3y'
+2y=3xe~x;
（2）y+5y'
+4y=3-2x；
y+4y‘=xcosx;
y"
_y=sinx；
yUy"
-2y，=x（eX+4）.
_3y'
+2y=5,y（0）=6,y（0）=2;
（2）y"
+y+sin2x=0,y（;
i）=1,y（兀）=13.设连续函数f（x）满足f（x）=eX+G（t-x）f（t）dt求f（x）.
4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为
k），求此物体之运动规律.
O—x（t）
5.—链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力,
求链条全部滑下所需时间.
6.大炮以仰角a、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线
p（t）=（x（t）,y（t））
8欧拉方程及常系数线性微分方程组
（1）x3y"
-x2y"
+2xy'
-2y=x3；
2.求下列微分方程组的通解
dx丄dy丄丄c
+y=_x+y+3dtdt
Idxdy丄c
—=x+y-3
Idtdt
^^-3x^=0
.dt2
+x+y=0dt2
自测题
1.求下列微分方程的解。
（2）ydx+（2x2y-x）dy=0；
（3）八——y+2xy-X
（4）y"
_y'
=xsin2x.
2.求连续函数W（x），使得xaO时有J0®
（xt）dt=2申（X）•
3.求以y=（C1+C2x+x2）e~2x为通解的二阶微分方程.
4.某个三阶常系数微分方程y卡ay"
+by'
+cy=O有两个解ex和x，求a,b,c.
5.
设y"
+p（x）y'
=f（x）有一个解为1，对应齐次方程有一特解x2，试求:
（1）p（x）,f（x）的表达式;
（2）该微分方程的通解•
『品—求f（x）.
已知曲线y=y（x）上原点处的切线垂直于直线x+2y-1=0,且y（x）满足微分方程
-2y'
+5y=eXcos2x，求此曲线方程•
微分方程习题答案
1验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解
解：
求导：
2x-y-xy'
+2yy'
=0移项：
（X—2y）y'
=2x-y
故所给出的隐函数是微分方程的解
e6t+x=1,y”=y（y）2.
隐函数方程两边对x求导
e^y・+1=0
方程两边再对x求导
丄
e2[（-yj/y'
+y]=0
指数函数非零，即有
y、y（y）2
2.已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C,Ci,C2均为常数）
（1）（X+C）2+y2=1;
求导得：
2（x+c）+2yy'
=0解出（X+c）=-yy’代入原方程得y2y'
2+y2=1
（2）y=6sin2x+C2COs2x.
y'
=2cicos2x+2Q（—sin2x）再求导得：
=YC|sin2x-4^cos2x消去c1,c2得：
+4y=0
4.
（1）曲线在（X,y）处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
yy'
+2x=0
（3）曲线上的点P（X,y）处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2,且曲线过点（2，0）。
点P（x,y）处切线方程：
Y-y=y'
（X-X）
故Q坐标为（0,y_yx），则有
解:
分离变量
咅=代’两边积分占7忌
得arcsiny=arcsinx+c
（2）sec2xtanydx^sec2yAanxdy=0；
tanxtanytanxtanyInItan彳=Tn|tan寸+G=
Intanxtany=G
tanxtany=C其中C=±
eCl
In
y+3
（2T-2x）dx+（2川+2y）dy=0.
2y-1
=-In
2x+1
+C1=In
（2y-1Q+y
=C1=e
In（2y
TX2X+1]=eCl=（2y-1X2x+1）=±
eC1=（2y-1X2x+i）=c
其中
（1）八e2i
eydy=e2Xdxfeydy=Je2xdx
0解得c=—
所以特解为：
M-1（e2x+1）
（2）xy'
+y=y2,y
，故特解为y=1-xy
C1）xy'
=y（In—+1）；
X
方程变形为齐次方程
1+9
u+x
du
3u2du
1-2u3
3纟丿
，令u
=U+X
，故原方程变为
1+u3
3u2
「d（Zu3）」1—2u3
In1-2u
，分离变量得
两边积分
艸彳②3
（1-
=-2ln
=eC1
T-2u3
13
—2d（1—2u3）
1-2u3
In1—2u3
+2ln
3
In（1-2u3
）x2=C1=
c3、2
2u）x
=eC1=
1-^-1
X2=±
eC1=
1-2
y
[
lx丿」
"
丿
x2|
eC=
X3-2y3=Cx其中C=±
eC1
升级会员 