任意角和弧度制诱导公式文档格式.docx
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过
程
课前检查与交流
作业完成情况：
交流与沟通：
针
对
性
授
课
知识点梳理：
任意角定义的导入：
1．初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”
2．生活中很多实例会不在改范围
体操运动员转体720º
，跳水运动员向内、向外转体1080º
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？
（运动）
一．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角：
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
突出“旋转”注意：
“顶点”“始边”“终边”
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。
二．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
三．轴线角：
所有终边与坐标轴重合的角叫做轴线角。
四．终边相同的角
※所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：
即：
任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
例：
写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.
{α|α=n⋅180︒+90︒,n∈Z}
引申：
写出所有轴上角的集合。
角度制：
{α|α=k⋅360︒,k∈Z}{α|α=k⋅360︒+180︒,k∈Z}{α|α=k⋅180︒,k∈Z}
弧度制：
{α|α=k⋅360︒+90︒,k∈Z}{α|α=k⋅360︒+270︒,k∈Z}{α|α=k⋅180︒+90︒,k∈Z}
{α|α=k⋅90︒,k∈Z}{α|α=k⋅90︒+45︒,k∈Z}{α|α=k⋅45︒,k∈Z}
严格区分：
“终边相同”和“角相等”；
“轴线角”“象限角”和“区间角”；
“小于90°
的角”、“第一象限角”、“0°
到90°
的角”和“锐角”的不同意义。
五、弧度制
1．定义：
长度1.长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad。
读作弧度；
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αrad
探究：
（1）平角、周角的弧度数，（平角=πrad、周角=2πrad）
（2）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（3）角α的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）
（4）角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同。
（5）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
3．弧长公式：
由公式：
比公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
4．扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径
证：
如图：
圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式要简单
六、终边相同的角的同一三角函数值相等
公式一（其中）:
角度制表示如下：
用弧度制可表示如下：
（这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。
）
※公式:
公式二：
公式三：
公式四：
公式五：
sin（90︒-α）=cosα,sin（-α）=cosα,
cos（90︒-α）=sinα.cos（-α）=sinα.
公式六：
sin（90︒+α）=cosα,sin（+α）=cosα,
cos（90︒+α）=-sinα.cos（+α）=-sinα.
考试题型分析：
本节内容大多以选择、填空题形式出现。
要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法；
另外还需掌握和运用一些基本结论．
例题分析：
例1．若，且，则（）
例2．
（1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？
（2）如果是第二象限的角，判断的符号．
解：
（1）∵，
∴，
当时，，是第一象限的角，
当时，，是第二象限的角，
当时，，是第三象限的角．
∴是第一，二，三象限的角．
（2）∵是第二象限的角，，，
∴，，
∴．
例3．已知锐角终边上的一点坐标是，则（）
课堂
检测
一．角度和弧度的转换：
二．选择题。
1．设，如果且，则的取值范围是（）
2．已知的终边经过点，且，则的取值范围是．
3．若，则（）
课堂检测答案：
1.2.3.
课后
作业
角的概念的推广练习
一、选择题
1．把化成的形式是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为（
3．若是第三象限的角，则是（
A．第一、二、三象限角
B．第一、二、四象限角
C．第一、三、四象限角
D．第二、三、四象限角
二、填空题
4．设集合：
，，
则A、B、C的关系是
。
5．角终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角的集合是
6．角，的终边关于原点对称，则，满足关系
7．角，的终边关于轴对称，则，满足关系
三、解答题
8．当12点过15分的时候，时钟长短针的夹角是多少度？
9．已知，角的7倍角的终边和角的终边重合，试求这个角。
弧度制的练习
1．如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（
）。
B．－
C．
D．－
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（
D．
3．设集合，，则M、N的关系是（
B．
4．用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为
5．若，则是第
象限角。
6．若，则的范围是
7．一个半径为R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为
8．两角差为，两角和为1，求这两角的弧度数。
9．已知扇形的圆心角为，弧长为，求此扇形内切圆的面积。
弧度制习题精选
一、选择题
1．的值是（
）．
A． B． C． D．
2．一条弦长等于半径的，则此弦所对圆心角（
A．等于弧度
B．等于弧度 C．等于弧度 D．以上都不对
3．把化为的形式是（
4．扇形的周期是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是（
A． B． C．16 D．32
二、填空题
1．度；
弧度．
2．半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为__________，度数为____________
3．3弧度的角的终边在第_____________象限，7弧度的角的终边在第_____________象限．
4．扇形的圆心角为，半径为，则弧长为____________．
5．若的圆心角所对的弧长为，则此圆的半径为______________．
三、解答题
1．在半径为的圆中，扇形的周长等于半圆的长，那么扇形的圆心角是多少度？
扇形的面积是多少？
2．在直径为的滑轮上有一条弦，其长为，且为弦的中点，滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过后，点转过的弧长是多少？
3．扇形的面积为，它的周长为，求扇形圆心角的弧度数及弦长．
4．一扇形周长是，扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
最大面积是多少？
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