学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛试题 数学理 解析版.docx

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学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛试题数学理解析版

绝密★启用前

安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二下学期春季联赛

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

（1）已知集合A＝{x|log2x<2}，B＝{x∈N|－2

（A）（－3，4）（B）（0，4）（C）{1，2，3}（D）{0，1，2，3}

（2）若纯虚数z满足z·（2－i）＝2＋mi，则实数m的值为

（A）－4（B）－1（C）1（D）4

（3）观察下图：

第（）行之和为20212

（A）1010（B）1011（C）2020（D）2021

（4）如图所示的程序框图模型，则输出结果是

（A）7（B）8（C）9（D）10

（5）正项等差数列{an}，a1＋a6＝2，则的最小值为

（A）2（B）3（C）（D）3＋2

（6）点F1，F2为椭圆C：

的两个焦点，点P为椭圆C内部的动点，则△PF1F2周长的取值范围为

（A）（2，6）（B）[4，6）（C）（4，6）（D）[4，8）

（7）函数f（x）＝sin2x＋2sinx的大致图象为

（8）已知函数y＝sin（2ωx＋）的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为

（A）－1（B）－2（C）－（D）－

（9）圆C1：

x2＋y2＝1与圆C2：

x2＋y2＋k（4x＋3y）－1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为

（A）相交（B）相离（C）相切（D）无法确定

（10）我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效。

蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图，每个蜂房的几何结构是正六棱柱形，它的一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成。

经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为（参考数据：

≈1.414，≈1.732）

（A）0.333（B）0.4（C）0.5（D）0.667

（11）已知O为坐标原点，双曲线（a>0，b>0）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且FP＝OA，直线AP与双曲线的左支交于点B，则∠PFB的大小为

（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°

（12）已知ea＋2＝－（a≠－2），eb＋3＝－（b≠－3），ec＋4＝－（c≠－4），则

（A）c

第II卷（非选择题共90分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

）

（13）已知向量a，b满足|a|＝4，b＝（－1，），且|λa＋μb|＝0（λμ≠0），则的值为。

（14）已知sin（－α）＝，则cos（＋2α）的值为。

（15）已知函数f（x）＝，g（x）＝3lnx，若直线l与曲线y＝f（x）及y＝g（x）均相切，且切点相同，求公切线l的方程为。

（16）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有顶点都在球O的球面上，若球O被平面A1BD所截得的图形面积为8π，则球O表面积的最大值为。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）

（17）（本小题满分10分）

近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患。

目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝。

某地规定成人的BMI数值标准为：

BMI<16为偏瘦；16≤BMI<23.9为正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。

为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从1000名男员工和1200名女员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、50名女员工的身高和体重数据。

根据数据分别得到如下统计表：

（1）根据数据统计表，分别估计男、女生BMI的平均值男、女（精确到百分位）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）现从BMI正常的男、女生中采用分层抽样的方法抽取5人。

并从5人中选2人作为该公司的形象代言人。

那么选到一男一女的概率是多少。

（18）（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，D为AB边上一点且AC⊥CD。

（1）若CD＝2，BD＝，求△BCD的面积；

（2）若，求tanA的值。

（19）（本小题满分12分）

数列{an}中，a1＝1，an＋1（an－4）＝an－6（n∈N*）。

（1）设bn＝，求证：

{bn}是等比数列；

（2）设数列的前n项积为Tn，求Tn取得最大值时n的取值。

（20）（本小题满分12分）

如图多面体ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB为等边三角形，四边形ABCD为正方形，EF//BC，且EF＝BC＝3，H、G分别为CE、CD的中点。

（1）做出平面FGH与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，则的值是多少？

（不需说明理由，保留作图痕迹）；

（2）求二面角CFHG的余弦值。

（21）（本小题满分12分）

已知抛物线C：

x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于AB两点。

点M的坐标为（2，－2）。

（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；

（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得。

（22）（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝－1，e＝2.71828…为自然对数的底数。

（1）试判断函数f（x）的零点个数并说明理由；

（2）若f（x）≥a（x－3lnx），求实数a的取值范围。