共7套高考数学 章节练习题集 第4章三角函数 解三角形Word文档格式.docx

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①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；

④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；

⑤若cosθ<

0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　由于第一象限角370°

不小于第二象限角100°

，故①错；

当三角形的内角为90°

时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；

③正确；

由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；

当θ＝π，cosθ＝－1<

0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝（　　）．

A．－8B．8C．－4D．4

解析　根据题意sinθ＝－<

0及P（4，y）是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<

0，∴y＝－8（合题意），y＝8（舍去）．综上知y＝－8.

6．点P从（1,0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（　　）．

A.B.

C.D.

解析　设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标（x，y）满足x＝cosα，

y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为.

二、填空题

7．若β的终边所在直线经过点P，则sinβ＝________，

tanβ＝________.

解析因为β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．

所以sinβ＝或－，tanβ＝－1.

答案或－　－1

8．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第______象限．

解析　∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0.

∴角α在第二象限．

答案　二

9．设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

解析　由题意得S＝（8－2r）r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2（rad）．

答案　2

10．函数y＝的定义域为________．

解析　

∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边的范围（如图阴影所示）．

∴x∈（k∈Z）．

答案　（k∈Z）

三、解答题

11．

（1）写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°

≤α<

720°

的元素α写出来：

①60°

；

②－21°

.

（2）试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°

180°

的元素α写出来．

解　

（1）①S＝{α|α＝60°

＋k·

360°

，k∈Z}，其中适合不等式－360°

的元素α为－300°

，60°

，420°

②S＝{α|α＝－21°

的元素α为－21°

，339°

，699°

（2）终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·

＋120°

，k∈Z}∪{α|α＝k·

＋300°

，k∈Z}＝{α|α＝k·

，k∈Z}，其中适合不等式－180°

的元素α为－60°

，120°

12．

（1）确定的符号；

（2）已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝m（0<

m<

1），试判断式子sinα－cosα的符号．

解析

（1）∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，

∴tan（－3）>

0，tan5<

0，cos8<

0，

∴原式大于0.

（2）若0<

α<

，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，

∴sinα＋cosα＝MP＋OM>

OP＝1.

若α＝，则sinα＋cosα＝1.

由已知0<

1，故α∈.

于是有sinα－cosα>

0.

13．一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.

解　设圆的半径为rcm，弧长为lcm，

则解得

∴圆心角α＝＝2.

如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1rad.

∴AH＝1·

sin1＝sin1（cm），∴AB＝2sin1（cm）．

14．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．

（1）求sin∠COA；

（2）求cos∠COB.

解　

（1）根据三角函数定义可知sin∠COA＝.

（2）∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°

，

又sin∠COA＝，cos∠COA＝，

∴cos∠COB＝cos（∠COA＋60°

）

＝cos∠COAcos60°

－sin∠COAsin60°

＝·

－·

＝.

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．cos＝（　　）

A.B.C．－D．－

解析cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选C.

答案C

2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝（　　）．

A．－B.C．－D.

解析　由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝＝＝.

答案　D

3．若＝，则tan2α＝（　　）．

解析　由＝，得＝，所以tanα＝－3，所以tan2α＝＝.

4．已知f（cosx）＝cos3x，则f（sin30°

）的值为（　　）．

A．0B．1C．－1D.

解析　∵f（cosx）＝cos3x，

∴f（sin30°

）＝f（cos60°

）＝cos180°

＝－1.

答案　C

5．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为（　　）．

A．1＋B．1－

C．1±

D．－1－

解析　由题意知：

sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，

又（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，

∴＝1＋，

解得：

m＝1±

，又Δ＝4m2－16m≥0，

∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.

6．若Sn＝sin＋sin＋…＋sin（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（　　）．

A．16B．72C．86D．100

解析　由sin＝－sin，sin＝－sin，…，sin＝－sin，sin＝sin＝0，所以S13＝S14＝0.

同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86（个）．故选C.

7．已知cosα＝－，且α是第二象限的角，则tan（2π－α）＝________.

解析由α是第二象限的角，得sinα＝＝，tanα＝＝－，则tan（2π－α）＝－tanα＝.

答案

8．已知α为第二象限角，则cosα＋sinα＝________.

解析原式＝cosα＋sinα

＝cosα＋sinα＝cosα＋sinα＝0.

答案0

9．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．

解析　依题意得sinα－cosα＝，又（sinα＋cosα）2＋（sinα－cosα）2＝2，即（sinα＋cosα）2＋2＝2，故（sinα＋cosα）2＝；

又α∈，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－（sinα＋cosα）＝－.

答案　－

10．f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4（a，b，α，β均为非零实数），若f（2012）＝6，则f（2013）＝________.

解析　f（2012）＝asin（2012π＋α）＋bcos（2012π＋β）＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝6，∴asinα＋bcosβ＝2，∴f（2013）＝asin（2013π＋α）＋bcos（2013π＋β）＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝2.

11．已知＝3＋2，

求cos2（π－α）＋sin·

cos＋2sin2（α－π）的值．

解析由已知得＝3＋2，

∴tanα＝＝＝.

∴cos2（π－α）＋sincos＋2sin2（α－π）

＝cos2α＋（－cosα）（－sinα）＋2sin2α

＝cos2α＋sinαcosα＋2sin2α

＝

＝＝.

12．已知sin（3π＋α）＝2sin，求下列各式的值：

（1）；

（2）sin2α＋sin2α.

解　法一　由sin（3π＋α）＝2sin，得tanα＝2.

（1）原式＝＝＝－.

（2）原式＝sin2α＋2sinαcosα＝

法二　由已知得sinα＝2cosα.

（1）原式＝＝－.

（2）原式＝＝＝.

13．是否存在α∈，β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝cos，cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？

若存在，求出α，β的值；

若不存在，请说明理由．

解　假设存在角α，β满足条件，

则由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sinα＝±

.∵α∈，∴α＝±

当α＝时，由②式知cosβ＝，

又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cosβ＝，

又β∈（0，π），∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．

14．已知函数f（x）＝tan.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）设α∈，若f＝2cos2α，求α的大小．

解　

（1）由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f（x）的定义域为，f（x）的最小正周期为.

（2）由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，

＝2（cos2α－sin2α），

整理得＝2（cosα＋sinα）（cosα－sinα）．

因为α∈，所以sinα＋cosα≠0.

因此（cosα－sinα）2＝，即sin2α＝.

由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.

第3讲三角函数的图象与性质

1．函数f（x）＝2sinxcosx是（　　）．

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为2π的偶函数

C．最小正周期为π的