届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义第19讲三角函数的图像与性质 含详细答案Word文件下载.docx

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奇函数

单调性

2kπ-,2kπ+上为增函数;

　　　　　　　上为减函数 

[2kπ,2kπ+π]上为减函数;

　　　　　　上为增函数 

kπ-,kπ+上为增函数

对称

中心

kπ+,0

0

对称轴

x=kπ+

无

常用结论

1.函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期T=,函数y=tan（ωx+φ）的最小正周期T=.

2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.

3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.

题组一　常识题

1.[教材改编]函数y=2sin（2x-1）的最小正周期是　　　　. 

2.[教材改编]若函数y=Asinx+1（A>

0）的最大值是3,则它的最小值是　　　　. 

3.[教材改编]函数y=2cosx在[-π,0]上是　　　　函数,在[0,π]上是　　　　函数. 

4.[教材改编]函数f（x）=的定义域为　　　　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:

忽视y=Asinx（或y=Acosx）中A对函数单调性的影响;

忽视函数的定义域;

忽视正、余弦函数的有界性;

忽视正切函数的周期性.

5.函数y=1-2cosx的单调递减区间是　　　　　　　. 

6.函数y=cosxtanx的值域是　　　　　. 

7.函数y=-cos2x+3cosx-1的最大值为　　　　. 

8.函数y=tan图像的对称中心是　　　　　　. 

探究点一　三角函数的定义域

例1

（1）函数f（x）=+tan的定义域为　　　　　　　　　. 

（2）函数y=ln（2cosx+1）+的定义域为　　　　　　　　　. 

[总结反思]求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式（组）,常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.

变式题

（1）函数y=的定义域为　　　　　　　　　. 

（2）函数f（x）=的定义域是　　　　　　　　　. 

探究点二　三角函数的值域或最值

例2

（1）函数y=2cos2x-sinx+1的最大值是　　　　. 

（2）[2018·

沧州质检]已知x∈,则函数f（x）=2cosxsinx+-sin2x+sinxcosx的最大值与最小值之和为　　　　. 

[总结反思]求解三角函数的值域（最值）的几种方法:

①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式,再求值域（最值）;

②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可设t=sinx,化为关于t的二次函数求值域（最值）;

③形如y=asinxcosx+b（sinx±

cosx）+c的三角函数,可设t=sinx±

cosx,化为关于t的二次函数求值域（最值）.

变式题

（1）函数f（x）=sin-cos的最大值为（　　）

A.2B.

C.2D.

（2）函数y=cosx-sinx+4sinxcosx的值域是　　　　　　. 

探究点三　三角函数性质的有关问题

微点1　三角函数的周期性

例3

（1）在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为（　　）

A.①②③B.①③④

C.②④D.①③

（2）若函数f（x）=1+asinax+（a>

0）的最大值为3,则f（x）的最小正周期为　　　　. 

[总结反思]

（1）公式法:

函数y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）的最小正周期T=,y=Atan（ωx+φ）的最小正周期T=;

（2）图像法:

利用三角函数图像的特征求周期.

微点2　三角函数的对称性

例4

（1）[2018·

广西贺州联考]若函数f（x）与g（x）的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f（x）=x2-x互为同轴函数的是（　　）

A.g（x）=cos（2x-1）B.g（x）=sinπx

C.g（x）=tanxD.g（x）=cosπx

重庆合川区三模]函数f（x）=Asin（ωx+φ）A>

0,ω>

0,|φ|<

的图像关于直线x=对称,它的最小正周期为π,则函数f（x）的图像的一个对称中心是（　　）

A.B.

C.D.

[总结反思]

（1）对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）,其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点（x0,0）是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f（x0）的值进行判断.

（2）函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:

①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a与x=b,则最小正周期T=2|b-a|;

②若函数图像相邻的两个对称中心分别为（a,0）,（b,0）,则最小正周期T=2|b-a|;

③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为（a,0）与x=b,则最小正周期T=4|b-a|.

微点3　三角函数的单调性

例5

（1）[2018·

乌鲁木齐一检]已知为函数f（x）=sin（2x+φ）0<

φ<

的一个零点,则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

A.（k∈Z）

B.（k∈Z）

C.（k∈Z）

D.（k∈Z）

合肥一中月考]已知ω>

0,函数f（x）=cosωx+在上单调递增,则ω的取值范围是（　　）

[总结反思]

（1）形如y=Asin（ωx+φ）的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sinx的单调性求解;

（2）如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.

应用演练

1.【微点3】[2018·

西安八校联考]已知函数f（x）=cos（x+θ）（0<

θ<

π）在x=处取得最小值,则f（x）在[0,π]上的单调递增区间是（　　）

2.【微点3】[2018·

浙江余姚中学月考]设f（x）=cosx,若a=f（ln2）,b=f（lnπ）,c=f,则下列关系式正确的是（　　）

A.a>

b>

c

B.b>

c>

a

C.a>

b

D.b>

a>

c

3.【微点2】[2019·

九江一中月考]已知函数f（x）=Asin的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是（　　）

A.x=1B.x=

C.x=D.x=-1

4.【微点1】[2018·

上海金山区二模]函数y=3sin2x+的最小正周期T=　　　　. 

考试说明1.能画出函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性.

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等）,理解正切函数在区间-,内的单调性.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.[-1,1]　[-1,1]　R　奇函数　偶函数　2kπ+,2kπ+　[2kπ-π,2kπ]　（kπ,0）　x=kπ

对点演练

1.π　[解析]最小正周期T===π.

2.-1　[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sinx+1的最小值为1-2=-1.

3.增　减　[解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.

4.（k∈Z）　[解析]由题意知tanx≥1,所以+kπ≤x<

+kπ（k∈Z）.

5.[2kπ-π,2kπ]（k∈Z）　[解析]函数y=1-2cosx的单调递减区间即函数y=-cosx的单调递减区间,即函数y=cosx的单调递增区间,即为[2kπ-π,2kπ]（k∈Z）.

6.（-1,1）　[解析]∵x≠+kπ（k∈Z）,y=cosxtanx=sinx,∴y=sinx∈（-1,1）,即函数y=cosxtanx的值域是（-1,1）.

7.1　[解析]设t=cosx,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.

8.（k∈Z）　[解析]由x+=（k∈Z）,得x=-（k∈Z）,所以函数y=tan图像的对称中心为（k∈Z）.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨]根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.

（1）x0<

x≤4且x≠且x≠　

（2）x2kπ≤x<

2kπ+,k∈Z　[解析]

（1）依题意得得0<

x≤4且x≠kπ+,k∈Z,所以函数f（x）的定义域是x0<

x≤4且x≠且x≠.

（2）由题意得即解得所以2kπ≤x<

2kπ+,k∈Z,

所以函数的定义域为x2kπ≤x<

2kπ+,k∈Z.

变式题　

（1）x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z

（2）x2kπ-<

x<

2kπ+,k∈Z

[解析]

（1）由题意知sinx-cosx≥0.作出函数y=sinx和y=cosx的图像,如图所示.

在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x的值为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,得原函数的定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.

（2）依题意知,+2sinx>

0,即sinx>

-,结合函数y=sinx的图像（图略）,可得函数f（x）的定义域为x2kπ-<

例2　[思路点拨]

（1）将函数转化为以sinx为自变量的二次函数求最值;

（2）将函数化为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式,再利用函数的单调性求最值.

（1）　

（2）1　[解析]

（1）由题知,y=2cos2x-sinx+1=2-4sin2x-sinx+1=-4+,当sinx=-时,函数取得最大值,最大值为.

（2）由题可知,f（x）=2cosx-sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin.

因为x∈,所以2x+∈,所以当2x+=,即x=时,函数取得最大值,即为2sin=2;

当2x+=-,即x=-时,函数取得最小值,即为2sin=-1.所以最大值与最小值之和为2-1=1.

变式题　

（1）B　

（2）　[解析]

（1）∵f（x）=sin-cos=sinx--=sinx-=-cosx,∴当x=（2k+1）π（k∈Z）时,f（x）取得最大值.

（2）令t=cosx-sinx,则t=cos∈[-,],又t2=1-2sinxcosx,所以sinxcosx=,所以y=t+4·

=-2t2+t+2=-2+.因为t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值;

当t=-时,y取得最小值-2-.所以函数的值域是.

例3　[思路点拨]

（1）根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;

（2）首先求