高数期中模拟题Word格式文档下载.docx

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（Ｂ）可去间断点；

（C）跳跃间断点；

（D）振荡间断点。

6、以下各项中和相同的是（）

（Ａ），；

（Ｂ），；

（C），；

（D），。

7、=（）

（Ａ）1；

（Ｂ）-1；

（C）0；

（D）不存在。

8、（）

（Ｂ）-1；

（Ｃ）；

（Ｄ）。

9、在的某一去心邻域内有界是存在的（）

（Ａ）充分必要条件；

（Ｂ）充分条件；

（C）必要条件；

（D）既不充分也不必要条件.

10、（）

（Ａ）1；

（Ｂ）2；

（C）；

（D）0。

11、设均为非负数列，且，则必有（）

（A）对任意成立；

（B）对任意成立；

（C）极限不存在；

（D）极限不存在。

12、当时，函数的极限（）

（Ａ）等于２；

　　（Ｂ）等于０；

　（Ｃ）为；

　（Ｄ）不存在但不为。

三、计算解答

1、计算下列极限

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）。

３、试确定之值，使。

４、利用极限存在准则求极限

（1）。

（2）设，且，证明存在，并求此极限值。

5、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

6、设在上连续，且，证明在内至少有一点，使。

第一单元函数与极限测试题详细解答

1、。

，

。

3、高阶。

是的高阶无穷小。

4、。

为有界函数，所以要使，只要，即。

5、。

。

6、。

，，

7、。

8、根据题意要求，所以。

9、，，

，的反函数为。

10、原式=。

11、由与，以及

，

可得。

12、由反三角函数的定义域要求可得

解不等式组可得，的定义域为。

13、

。

14、

15、2

1、选（Ｄ）令，由是上的偶函数，是上的奇函数，。

2、选（Ｃ）

3、选（A）

4、选（Ｂ）

5、选（Ｃ），，

6、选（Ｃ）在（A）中的定义域为，而的定义域为，故不正确

在（B）的值域为，的值域为，故错

在（C）中的定义域为R，的定义域为

，，故错

7、选（Ｄ），

不存在

8、选（Ｄ），

9、选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知，存在，则必有的某一去心邻域使有界，而在的某一去心邻域有界不一定有存在，例如，函数有界，但在点极限不存在

10、选（Ｃ）

（

11、选（D）（A）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况，不可能得出“对任意成立”的性质。

（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·

无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

12、选（D）

当时函数没有极限，也不是。

1、计算下列极限：

（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

（5）解：

（6）解：

（7）解：

（8）解：

３、解：

４、

（1）.

而。

（2）先证有界（数学归纳法）

时，

设时，，则

数列有下界，

再证单调减，

且

即单调减，存在，设，

则有（舍）或，

５、解：

先求极限得

而

的连续区间为

为跳跃间断点.。

６、解：

令，则在上连续

而

由零点定理，使

即，亦即。

第二单元导数与微分

1、已知，则=。

2、存在，有，则=。

3、，则=。

4、二阶可导，，则=；

=。

5、曲线在点处切线与连接曲线上两点的弦平行。

6、，则=。

7、，则=，=。

8、若，则=。

9、曲线于点_________处的切线斜率为2。

10、设，则。

11、设函数由方程确定，则。

12、设则。

二、单项选择

1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则=（）。

（Ｄ）。

3、函数，且，则（）。

（Ａ）；

（Ｂ）；

4、已知为可导的偶函数，且，则曲线在处切线的方程是。

（Ｄ）。

5、设可导，则=。

6、函数有任意阶导数，且，则=。

7、若，则=（）

8、设函数在点处存在和，则是导数存在的（）

（Ａ）必要非充分条件；

（Ｂ）充分非必要条件；

（C）充分必要条件；

（Ｄ）既非充分又非必要条件。

9、设则（）

10、若可导，且，则有（）

11、设函数连续，且，则存在，使得（）

（A）在内单调增加；

（B）在内单调减少；

（C）对任意的有；

（D）对任意的有。

12、设在处可导，则（）

（A）；

（B）为任意常数；

（C）；

（C）为任意常数。

1、计算下列各题

（1），求；

（2），求；

（3），；

（4），求；

（5），求；

（6），求；

（7），在处有连续的一阶导数，求；

（8）设在处有连续的一阶导数，且，求。

2、试确定常数之值，使函数处处可导。

3、证明曲线与（为常数）在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。

5、若函数对任意实数有，且，证明。

6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程。

第二单元导数与微分测试题详细解答

1、

2、

3、

4、，

5、弦的斜率

，当时，。

6、

7、，

8、

9、，由，

在点处的切线斜率为2

10、2，

11、方程两边对求导得

解得。

12、由参数式求导公式得，

再对求导，由复合函数求导法得

1、选（Ｄ）由交点为，，

3、选（Ｃ）

由得

4、选（A）由

切线方程为：

即

5、选（Ｄ）

6、选（Ｂ）

设，则

7、选（Ｃ）

又，

8、选（Ｃ）在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。

9、选（Ｄ）

另解：

由定义，

10、选（Ｂ）

11、由导数定义知

再由极限的保号性知当时，

从而当时，，因此C成立，应选C。

12、由函数在处可导，知函数在处连续

，所以。

又，

所以。

应选C。

（1）

（2），，

（3）两边对求导：

（4）

设

则

（5）两边取对数：

两边求导：

（6）利用定义：

（7）

又

[注：

因在处是否二阶可导不知，故只能用定义求。

]

（8）

2、易知当时，均可导，要使在处可导

则，且在处连续。

即

而

又

由

3、证明：

设交点坐标为，则

对两边求导：

曲线在处切线斜率

又由

两切线相互垂直。

4、设分钟后气球上升了米，则

两边对求导：

当m时，

当m时，（弧度/分）

5、证明：

6、解：

由于，于是所求切线斜率为

从而所求切线方程为，即

又法线斜率为

所以所求法线方程为，即

第三单元微分中值定理与导数应用

1、__________。

2、函数在区间______________单调增。

3、函数的极大值是____________。

4、曲线在区间__________是凸的。

5、函数在处的阶泰勒多项式是_________。

6、曲线的拐点坐标是_________。

7、若在含的（其中）内恒有二阶负的导数，且_______,则是在上的最大值。

8、在内有__________个零点。

9、。

10、。

11、曲线的上凸区间是___________。

12、函数的单调增区间是___________。

1、函数有连续二阶导数且则（）

（Ａ）不存在；

（Ｂ）0；

（Ｃ）-1；

（Ｄ）-2。

2、设则在内曲线（）

（Ａ）单调增凹的；

（Ｂ）单调减凹的；

（Ｃ）单调增凸的；

　（Ｄ）单调减凸的。

3、在内连续，，则在处（）

（Ａ）取得极大值；

（Ｂ）取得极小值；

（Ｃ）一定有拐点；

（Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

4、设在上连续，在内可导，则Ⅰ：

在内与Ⅱ：

在上之间关系是（）

（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件；

（Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；

（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件；

（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。

5、设、在连续可导，，且，则当时，则有（）

（Ｃ）；

　（Ｄ）。

6、方程在区间内（）

（Ａ）无实根；

（Ｂ）有唯一实根；

（Ｃ）有两个实根；

　　（Ｄ）有三个实根。

7、已知在的某个邻域内连续，且，，则在点处（）

（Ａ）不可导；

　　　　（Ｂ）可导，且；

（C）取得极大值；

　（Ｄ）取得极小值。

８、设有二阶连续导数，且，，则（　　　）

（Ａ）是的极大值；

　　　　　　（Ｂ）是的极小值；

（Ｃ）是曲线的拐点；

　　（Ｄ）不是的极值点。

9、设为方程的二根，在上连续，在内可导，则在内（）

（A）只有一实根；

（B）至少有一实根；

（C）没有实根；

（D）至少有2个实根。

10、在区间上满足罗尔定理条件的函数是（）

（A）；

（B）；

11、函数在区间内可导，则在内是函数在内单调增加的（）

（A）必要但非充分条件；

（B）充分但非必要条件；

（C）无关条件。

12、设是满足微分方程的解，且，则在（）

（A）的某个邻域单调增加；

（B）的某个邻域单调减少；

（Ｃ）处取得极小值；

　　　　（Ｄ）处取得极大值。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）。

2、证明以下不等式

（1）、设，证明。

（2）、当时，有不等式。

3、已知，利用泰勒公式求。

4、试确定常数与的一组数，使得当时，与为等价无穷小。

5、设在上可导，试证存在，使

6、作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该体积最小值。

7、若在上有三阶导数，且，设，试证：

在内至少存在一个，使。

第三单元微分中值定理与导数应用测试题详细解答

2、在