高考数学131 空间几何体Word格式文档下载.docx
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表面积
简单几何体表面积求解
体积
1.简单几何体体积求解
2.简单等积变换及体积比例关系
2014江苏,8
圆柱的体积
圆锥侧面积
★★★
2015江苏,9
圆柱与圆锥的体积
2017江苏,6
圆柱、球的体积
2018江苏,10
多面体体积
正方体
分析解读 江苏高考对于几何体的体积几乎是每年必考,一般以小题呈现,基础题居多.考查的方式如下:
一是考查简单几何体的体积,以圆锥和圆柱为主;
二是考查锥体或者柱体的等体积转换,利用底面积和高的比例关系,寻求体积的比例;
三是考查以空间几何体为背景的应用题,结合不等式、导数、函数等有关知识,寻求体积或者表面积的最优解问题;
四是考查简单组合体的体积.
破考点
【考点集训】
考点一 空间几何体的结构特征
（2019届江苏吴江期初）在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的四个顶点,这些几何图形是 （写出所有正确结论的编号）.
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
答案 ①③④⑤
考点二 表面积
1.（2018江苏宿迁中学周考）在三棱锥S-ABC中,面SAB,面SBC,面SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC的表面积是 .
答案 3+
2.（2019届江苏苏州中学检测）已知圆锥和圆柱的底面半径均为R,高均为3R,则圆锥和圆柱的表面积之比是 .
答案
考点三 体积
1.（2018江苏南师附中考前模拟）直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D-A1BC的体积是 .
2.（2018江苏启东暑期检测）三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则= .
炼技法
【方法集训】
方法一 空间几何体表面积的求解方法
1.（2019届江苏盐城中学检测）已知圆锥的底面直径与高都是2,则该圆锥的侧面积为 .
答案 π
2.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3= .
答案 5
方法二 空间几何体体积的求解方法
1.（2018江苏启东汇龙中学检测）设M,N分别为三棱锥P-ABC的棱AB,PC的中点,三棱锥P-ABC的体积记为V1,三棱锥P-AMN的体积记为V2,则= .
2.（2019届江苏淮阴中学暑期检测）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2,且∠ABC=60°
的菱形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=3.若点M是BC的中点,则三棱锥M-PAD的体积为 .
方法三 与球有关的切、接问题的求解方法
1.设P,A,B,C是球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1m,则球的体积为 .
答案 m3
2.（2019届江苏海门中学检测）如图,半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是 .
答案 6
3.设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1,则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为 .
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·
江苏卷题组
1.（2017江苏,6,5分）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 .
2.（2014江苏,8,5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是 .
3.（2015江苏,9,5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
考点一 表面积
1.（2018课标全国Ⅱ理,16,5分）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°
.若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为 .
答案 40π
2.（2018课标全国Ⅰ文改编,5,5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 .
答案 12π
3.（2017课标全国Ⅱ文,15,5分）长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .
答案 14π
4.（2017课标全国Ⅰ文,16,5分）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .
答案 36π
5.（2017课标全国Ⅰ文,18,12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°
.
（1）证明:
平面PAB⊥平面PAD;
（2）若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°
且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.
由已知∠BAP=∠CDP=90°
得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,
从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.
由
（1）知,AB⊥平面PAD,
故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=AB·
AD·
PE=x3.
由题设得x3=,故x=2.
从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·
PD+PA·
AB+PD·
DC+BC2sin60°
=6+2.
方法总结 1.面面垂直的证明
证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面.
2.几何体的表面积
直棱柱的侧面积S侧=C底·
l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.
考点二 体积
1.（2018课标全国Ⅰ文改编,10,5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°
则该长方体的体积为 .
答案 8
2.（2018课标全国Ⅲ理改编,10,5分）设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 .
答案 18
3.（2018天津理,11,5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M（如图）,则四棱锥M-EFGH的体积为 .
4.（2018天津文,11,5分）如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为 .
5.（2017课标全国Ⅲ理改编,8,5分）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 .
6.（2017课标全国Ⅰ理,16,5分）如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积（单位:
cm3）的最大值为 .
答案 4
7.（2015课标Ⅱ文改编,9,5分）已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°
C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 .
答案 144π
8.（2016课标全国Ⅲ理改编,11,5分）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 .
9.（2015山东改编,7,5分）在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .
10.（2014陕西改编,5,5分）已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 .
11.（2016浙江,14,4分）如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°
.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 .
12.（2017课标全国Ⅲ文,19,12分）如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
AC⊥BD;
（2）已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
解析
（1）证明:
取AC的中点O,连接DO,BO.
因为AD=CD,所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.
又BO∩DO=O,从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.
（2）连接EO.
由
（1）及题设知∠ADC=90°
所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.
又AB=BD,
所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故∠DOB=90°
由题设知△AEC为直角三角形,
所以EO=AC.
又△ABC是正三角形,且AB=BD,
所以EO=BD.
故E为BD的中点,
从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,
即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.
C组 教师专用题组
1.（2013江苏,8,5分）如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .
2.（2012江苏,7,5分）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3.
3.（2016课标全国Ⅱ改编,4,5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 .
4.（2014山东,13,5分）一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .
答案 12
5.（2014福建,19,12分）如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
（1）求证:
CD⊥平面ABD;
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