五年级奥数下册.docx

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第一讲分数计算技巧（裂项）

（美国长岛小学数学竞赛）

（第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题）

计算

（2009年迎春杯初赛六年级）

计算

（第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题）

计算

计算

1．黄金数列

2．裂差：

先裂再碎，掐头去尾。

抵消

3．裂和

凑整

测试题一

1．

A．1 B．1 C． D．

2．

A． B． C． D．

3．

A． B． C． D．

4．

A． B． C． D．

5．＋＋＋……＋

A．10 B．9 C．9 D．10

第二讲分数四则混合运算

计算

计算

计算

计算

计算

（2007年希望杯第五届六年级一试）

计算

第三讲因数与倍数

（一）

——公因数公倍数

因数和倍数的定义：

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的因数。

注意：

有些题目中会出现“约数”一词，它与“因数”的含义是完全相同的。

因数的找法：

因数总是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身。

如60包含因数：

1和60；2和30；3和20；4和15；5和12；6和10。

如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍。

现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？

最大公因数的定义：

如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数。

在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数。

例如：

（8，12）＝4，（6，9，15）＝3。

最小公倍数的定义：

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，

称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：

[8，12]＝24，[6，9，15]＝90。

求最大公因数的方法：

分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：

231＝3×7×11，252＝22×32×7，所以（231，252）＝3×7＝21；

又如：

24＝23×3，36＝22×32，所以（24，36）＝22×3＝12；

短除法：

先找出所有共有的因数，然后相乘．

例如：

，所以（12，18）＝2×3＝6。

幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个。

这个大班的小朋友最多有多少人？

现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？

求最小公倍数的方法：

分解质因数法：

先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次。

例如：

231＝3×7×11，252＝22×32×7，

所以[231，252]＝22×32×7×11＝2772；

又如：

24＝23×3，36＝22×32，所以[24，36]＝23×32＝72；

短除法：

先找所有包含的因数，然后相乘。

例如：

，所以[18，12]＝2×3×3×2＝36；

特殊地，如果要求多个数的最小公倍数，需要短除直至任意两数都互质。

例如：

，所以[12，18，40]＝2×3×2×3×1×10＝360；

动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。

那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？

菜单A＝ma

菜单B＝mb

（A，B）＝m

[A，B]＝mab

（A，B）×[A，B]＝A×B

a，b两数的最大公约数为4，最小公倍数为120。

问a，b各是多少？

写出所有答案。

甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？

测试题三

1．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的12倍，那么这个整数最小是（）

A．12 B．24

C．36 D．48

2．学校举办运动会，给啦啦队的队员分物品，共有141面小旗，232束花环，278条彩带，若平均分给啦啦队的队员，则旗多3面，花环多2束，彩带多2条，那么啦啦队的队员最多有（）人。

A．40 B．42

C．46 D．48

3．4个自然数的和是1001，那么这4个数的公因数当中，最大的可能是（）

A．143 B．200

C．286 D．429

4．幼儿园给小朋友分水果，如果只分给小班的小朋友，那么每人可得4个，如果只分给中班的小朋友，那么每人可得6个，如果只分给大班的小朋友，那么每人可得12个，那么平均分给三个班的小朋友，每人可得（）个。

A．1 B．2

C．3 D．4

5．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是56，那么这两个数的和是（）

A．30 B．60

C．36或60 D．36

第四讲因数与倍数

（二）

—约数倍数综合运用

两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？

两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？

有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。

那么这些小朋友最多有多少人？

一次考试，参加的学生中有七分之一得优，四分之一得良，三分之一得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有人。

有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。

已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？

（10年希望杯五年级初赛第11题）

夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走。

小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。

那么这条小路长__米。

连续7个自然数的和既是5的倍数，也是9的倍数，那么这7个自然数中最大的一个数的最小值是_______。

测试题四

1．有两个自然数，它们的最大公因数是12，最小公倍数是180，并且两数不成倍数关系。

这两个数分别是（）

A．36，60 B．12，180 C．12，150 D．36，150

2．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，这两个数分别是（）

A．45，72 B．36，90 C．24，135 D．18，180

3．鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端开始向另一端挖洞。

鼹鼠每隔3米挖一个洞，老鼠每隔5米挖一个洞，老鼠对鼹鼠说：

“你挖完后，我再挖。

”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖（）个洞。

A．10 B．9 C．6 D．5

4．某班学生不足50人，在一次测验中有七分之一得优，三分之一得良，二分之一及格，这个班有（）人。

A．45 B．44 C．43 D．42

5．三个无业游民A、B、C在一棵树下赌博，开始时他们所有钱数比是7∶6∶5，赌完之后他们的钱数比变成6∶5∶4（钱的所有者次序相同）。

其中一个人嬴了12元，他原来有（）元钱。

A．420 B．210 C．105 D．55

第五讲完全平方数

（一）

一、完全平方数的定义：

我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。

如02＝0，12＝1，22＝4，…，112＝121，122＝144，…其中0，1，4，…，121，144叫做完全平方数。

二、完全平方数表：

五年级应记住20以内自然数的平方，六年级应记住32以内自然数的平方。

32以内自然数的平方如下：

三、完全平方数的常用性质：

性质1：

完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9；

某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。

做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下说：

“5人一组分组还多2人。

”老师马上说：

“你一定算错了。

”你知道老师这样说的根据吗？

性质2：

完全平方数除以3只可能余0或1；

完全平方数除以4只可能余0或1；

完全平方数除以8只可能余0、1或4；

完全平方数除以16只可能余0、1、4或9；

有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和。

请问这个三位数的最大值是多少？

性质3：

如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数；（反之也一样）

如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数；

如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个；

如果一个完全平方数的个位是奇数，那么它的十位一定是偶数；

有没有各位数字完全相同的完全平方数？

（至少两位）

性质4：

完全平方数做质因数分解后每个质因数的次数都是偶数；

从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有多少个？

求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数。

测试题五

1．7744是四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同的完全平方数吗？

A．不是 B．不确定 C．是

2．8，88，888，8888…中有完全平方数吗？

A．有 B．没有 C．不确定

3．已知恰是自然数的平方数，的最小值是（）

A．5 B．6 C．3 D．2

4．从1到1820的所有自然数中，乘以48后是完全平方数的共有多少个？

A．24 B．25 C．19 D．21

5．两数乘积为，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，那么这两个数分别是（）

A．31、36 B．36、30 C．40、42 D．38、24

第六讲完全平方数

（二）

性质5：

完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。

特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。

求一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。

开始时，所有的灯都不亮。

有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。

问：

第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？

（2009年迎春杯初赛五年级）200名同学编为1至200号面向南站成一排。

第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；…