高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析4 数列不等式练习 理Word文件下载.docx

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当m＋n＝p＋q时，则有am·

an＝ap·

aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·

an＝a.

[问题2]　

（1）在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·

a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.

答案　

（1）512　

（2）10

3．求数列通项的常见类型及方法

（1）已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．

（2）如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．

（3）若已知数列的递推公式为an＋1＝an＋f（n），可采用累加法．

（4）数列的递推公式为an＋1＝an·

f（n），则采用累乘法．

（5）已知Sn与an的关系，利用关系式an＝求an.

（6）构造转化法：

转化为等差或等比数列求通项公式．

[问题3]　已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（xy）＝xf（y）＋yf（x）成立．数列{an}满足an＝f（2n）（n∈N*），且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________.

答案　n·

2n

解析　令x＝2，y＝2n－1，则f（xy）＝f（2n）＝2f（2n－1）＋2n－1f

（2），即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋（n－1）×

1＝n，即an＝n·

2n.

4．数列求和的方法

（1）公式法：

等差数列、等比数列求和公式；

（2）分组求和法；

（3）倒序相加法；

（4）错位相减法；

（5）裂项法

如：

＝－；

＝.

（6）并项法

数列求和时要明确：

项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．

[问题4]　数列{an}满足an＋an＋1＝（n∈N，n≥1），若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．

答案　

5．如何解含参数的一元二次不等式

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：

①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；

②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>

0、Δ＝0、Δ<

0三种情况；

③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合．

[问题5]　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1<

0（a>

0）．

解　原不等式化为（x－）（x－1）<

0.

∴当0<

a<

1时，不等式的解集为{x|1<

x<

}；

当a>

1时，不等式的解集为{x|<

1}；

当a＝1时，不等式的解集为∅.

6．处理二次不等式恒成立的常用方法

（1）结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法．

（2）从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零．

（3）能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来．

（4）数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．

[问题6]　如果kx2＋2kx－（k＋2）<

0恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

A．－1≤k≤0B．－1≤k<

C．－1<

k≤0D．－1<

k<

答案　C

解析　当k＝0时，原不等式等价于－2<

0，显然恒成立，所以k＝0符合题意．

当k≠0时，由题意得，

解得－1<

0.所以－1<

k≤0.

7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．

常用技巧：

（1）对不能出现定值的式子进行适当配凑．

（2）对已知条件的最值可代入（常数代换法）或消元．

（3）当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值．

[问题7]　若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2B．7＋2

C．6＋4D．7＋4

答案　D

解析　由题意得所以

又log4（3a＋4b）＝log2，

所以log4（3a＋4b）＝log4（ab），

所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.

所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝7＋＋

≥7＋2＝7＋4，

当且仅当＝时取等号．

8．解绝对值不等式的常用方法

（1）基本公式法：

a>

0时，有|x|<

a⇔x2<

a2⇔－a<

a.|x|>

a⇔x2>

a2⇔x>

a或x<

－a.

（2）零点分段法：

含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解．

（3）平方法：

通过两边平方去绝对值符号．需要注意的是不等号两边为非负值．

（4）绝对值的几何意义．

[问题8]　不等式|x－1|－|x－5|<

2的解集是（　　）

A．（－∞，4）B．（－∞，1）

C．（1,4）D．（1,5）

解析　①当x≤1，原不等式可化为1－x－（5－x）<

2，

∴－4<

2，不等式恒成立，∴x≤1.

②当1<

5时，原不等式可化为x－1－（5－x）<

∴x<

4，∴1<

4.

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<

2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为（－∞，4）．

9．解决线性规划问题有三步

（1）画：

画出可行域（有图象）．

（2）变：

将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离．

（3）代：

将合适的点代到原来目标函数中求最值．

利用线性规划思想能解决的几类值域（最值）问题：

（1）截距型：

如求z＝y－x的取值范围．

（2）条件含参数型：

①已知x，y满足约束条件且z＝y－x的最小值是－4，则实数k＝－2，

②已知x，y满足约束条件且存在无数组（x，y）使得z＝y＋ax取得最小值，则实数a＝.

（3）斜率型：

如求的取值范围．

（4）距离型（圆半径平方型R2）：

如求（x－a）2＋（x－b）2的取值范围．

[问题9]　已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于（　　）

A．3B．2

C．－2D．－3

答案　B

解析　画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，所以2a＋0＝4，此时a＝2.

易错点1　忽视等比数列中q的范围

例1　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝________.

易错分析　没有考虑等比数列求和公式Sn＝中q≠1的条件，本题中q＝1恰好符合题目条件．

解析　①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，

∴S3＋S6＝S9成立．

②当q≠1时，由S3＋S6＝S9，

得＋＝.

∴q9－q6－q3＋1＝0，即（q3－1）（q6－1）＝0.

∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.

答案　1或－1

易错点2　忽视分类讨论

例2　若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：

Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

易错分析　要去掉|an|的绝对值符号，要考虑an的符号，对n不讨论或讨论不当容易导致错误．

解　an＝21－4（n－1）＝25－4n.

当n≤6时，Sk＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋an＝－2n2＋23n；

当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|

＝（a1＋a2＋a3＋…＋a6）－（a7＋a8＋…＋an）

＝2（a1＋a2＋…＋a6）－（a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an）＝2n2－23n＋132.

所以Sn＝

易错点3　已知Sn求an时忽略n＝1

例3　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），求数列{an}的通项an.

易错分析　an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，若忽略对n＝1时的验证则出错．

解　因为an＋1＝2Sn，所以Sn＋1＝3Sn，所以＝3.

因为S1＝a1＝1，

所以数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn＝3n－1（n∈N*）．

所以当n≥2时，an＝2Sn－1＝2×

3n－2（n≥2），

所以an＝

易错点4　数列最值问题忽略n的限制

例4　已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）（）n（n∈N*），则数列{an}的最大项是（　　）

A．第6项或第7项B．第7项或第8项

C．第8项或第9项D．第7项

易错分析　求解数列{an}的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式（组）求解时，不能漏掉不等式（组）中的等号，避免造成无解或漏解的失误．

解析　因为an＋1－an＝（n＋3）（）n＋1－（n＋2）（）n＝（）n·

，当n＜7时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；

当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n＞7时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞a10…，

所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.

易错点5　裂项法求和搞错剩余项

例5　在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为（　　）

A.B.

C.D.

易错分析　裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误．一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的．

解析　由已知得an＝＋＋…＋

＝（1＋2＋…＋n）＝，

从而bn＝＝＝4（－），

所以数列{bn}的前n项和为

Sn＝4[（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）]＝4（1－）＝.故选D.

易错点6　线性规划问题最优解判断错误

例6　P（x，y）满足|x|＋|y|≤1，求ax＋y的最大值及最小值．

易错分析　由ax＋y＝t，得y＝－ax＋t，欲求t的最值，要看参数a的符号．忽视参数的符号变化，易导致最值错误．

解　①当a<

－1时，直线y＝－ax＋t分别过点（－1,0）与（1,0）时，ax＋y取得最大值与最小值，其值分别为－a，a.

②当－1≤a≤1时，直线y＝－ax＋t分别为（0,1）与（0，－1）时，ax＋y取得最大值与最小值，其值分别为1，－1.

③当a>

1时，直线y＝－ax＋t分别过点（1,0）与（－1,0）时，ax＋y取得最大值与最小值，其值分别为a，－a.

易错点7　运用基本不等式忽视条件

例7　函数y＝的最小值为________．

易错分析　应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域．

解　y＝＝＝＋.

设t＝，则t≥2，所以函数变为f（t）＝t＋（t≥2）．这时，f（t）在[2，＋∞）