第7讲八上期中复习Word格式.docx

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证明：

在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，

∵A、E关于ON对称，

∴AC=EC，

同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，

∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，

AT+TR+BR=ET+TR+FR，

∵ET+TR+FR＞EF，

∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，

即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线．

题型二：

全等三角形

【例3】如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．

请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．

【解析】连接DG，则△ADG是等腰三角形．

∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，

∴∠AFC=∠AEB=90°

∴∠ACG=∠DBA

又∵BD=CA，AB=GC，

∴△ABD≌△GCA；

∴AG=AD，

∴△ADG是等腰三角形．

【例4】△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°

，O为△ABC内一点，∠OAB=10°

，∠OBC=20°

，求∠OCA的度数．

【解析】作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，

∵∠CAB=∠CBA=50°

，

∴AC=BC，

∴AD=BD，

∴∠ACB=80°

∵∠ABC=∠ACB=50°

∴∠CBP=∠OBC=20°

=∠CAP，

∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°

-20°

-10°

=20°

∠POA=∠OBA+∠OAB=10°

+50°

=40°

=∠ACD，

∵在△CAP和△OAP中，

∠ACP＝∠AOP，∠CAP＝∠OAP

∴△CAP≌△OAP，

∴AC=OA，

∴∠ACO=∠AOC，

∴∠OCA=（180°

-∠CAO）

=[180°

-（∠CAB-∠OAB）]=（180°

-40°

）=70°

．

【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=30°

，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

⑴如图1，连接EC，求证：

△EBC是等边三角形；

⑵点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°

，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

⑶如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°

，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

【解析】⑴在Rt△ABC中，∠ACB=90°

∴∠ABC=60°

，BC=AB．

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°

∴DA=DB．

∵DE⊥AB于点E．

∴AE=BE=AB．

∴BC=BE．

∴△EBC是等边三角形；

⑵结论：

AD=DG+DM．

如图2所示：

延长ED使得DN=DM，连接MN，

∵∠ACB=90°

，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，

∴∠ADE=∠BDE=60°

，AD=BD，

又∵DM=DN，

∴△NDM是等边三角形，

∴MN=DM，

在△NGM和△DBM中，

∵∠N＝∠MDB，MN＝DM，∠NMC＝∠DMB

∴△NGM≌△DBM，

∴BD=NG=DG+DM，

∴AD=DG+DM．

⑶结论：

AD=DG-DN．

延长BD至H，使得DH=DN．

由⑴得DA=DB，∠A=30°

∴∠2=∠3=60°

∴∠4=∠5=60°

∴△NDH是等边三角形．

∴NH=ND，∠H=∠6=60°

∴∠H=∠2．

∵∠BNG=60°

∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．

即∠DNG=∠HNB．

在△DNG和△HNB中，

∵DN＝HN，∠DNG＝∠HNB，∠H＝∠2

∴△DNG≌△HNB（ASA）．

∴DG=HB．

∵HB=HD+DB=ND+AD，

∴DG=ND+AD．

∴AD=DG-ND．

题型三：

因式分解

【例6】已知四个实数a、b、c、d，且a≠b，c≠d．满足：

a2+ac=4，b2+bc=4，c2+ac=8，d2+ad=8．

⑴求a+c的值；

⑵分别求a、b、c、d的值．

【解析】⑴由（a2+ac）+（c2+ac）=4+8=12，得（a+c）2=a2+c2+2ac=12，

∴a+c=

⑵由（a2+ac）-（b2+bc）=4-4=0，（c2+ac）-（d2+ad）=8-8=0，

得（a-b）（a+b+c）=0，（c-d）（a+c+d）=0，

∵a≠b，c≠d，

∴a+b+c=0，a+c+d=0，

∴b=d=-（a+c），

又（a2+ac）-（c2+ac）=4-8=-4，得（a-c）（a+c）=-4．

当a+c=时，a-c=，解得：

a=，c=，b=d=；

a=，c=，b=d=．

【例7】设a1=3212，a2=5232，…，an=（n为大于0的自然数）．

⑴探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．

【解析】⑴∵an=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，

又∵n为非零的自然数，

∴an是8的倍数．

这个结论用文字语言表述为：

两个连续奇数的平方差是8的倍数

⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．

n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数．

训练1.阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；

将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；

…；

将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．

情形一：

如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；

情形二：

如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；

将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

⑴△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？

（回答“是”或“不是”）．

⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：

若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．

应用提升

⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°

、60°

、105°

，发现60°

和105°

的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°

，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

【解析】⑴△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；

理由如下：

小丽展示的情形二中，如图3，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，

∴∠A1B1C=∠C；

∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C，

∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．

故答案是：

是；

⑵∠B=3∠C；

如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；

将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．

证明如下：

∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，

∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°

根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°

∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；

⑶由⑵知设∠A=4°

，∵∠C是好角，∴∠B=4n°

；

∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°

，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180

∴如果一个三角形的最小角是4°

，三角形另外两个角的度数是4、172；

8、168；

16、160；

44、132；

88°

、88°

训练2.一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°

，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，

求证：

△BPO≌△PDE．

⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

⑵特殊位置，证明结论

若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：

AP=CD．

【解析】⑴证明：

∵PB=PD，

∴∠2=∠PBD，

∵AB=BC，∠ABC=90°

∴∠C=45°

∵BO⊥AC，

∴∠1=45°

∴∠1=∠C=45°

∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，

∴∠3=∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BOP=∠PED=90°

在△BPO和△PDE中

∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

⑵证明：

由⑴可得：

∠3=∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∵∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB＝PD

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD．

训练3.因式分解

⑴

⑵

⑶

⑷

【解析】⑴

训练4.按下面规则扩充新数：

已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c