全国高中数学联赛考试及解答.docx

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全国高中数学联赛考试及解答

一九九九年全国高中数学联合竞赛

第一试

（10月10日上午8:

00-9:

40）

一．选择题：

（每小题6分）

1．给定公比为q（q≠1）的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…则数列{bn}（）

（A）是等差数列（B）是公比q为的等比数列

（C）是公比为q3的等比数列（D）既非等差数列又非等比数列

2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式（|x|－1）2+（|y|－1）2<2的整点（x，y）的个数是（）

（A）16（B）17（C）18（D）25

3．若（log23）x－（log53）x≥（log23）－y－（log53）－y，则（）

（A）x－y≥0（B）x+y≥0（C）x－y≤0（D）x+y≤0

4．给定下列两个关于异面直线的命题：

命题1：

若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a,b中的一条相交。

命题2：

不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。

那么（）

（A）命题1正确，命题2不正确

（B）命题2正确，命题1不正确

（C）两个命题都正确

（D）两个命题都不正确

5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

6．已知点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是（）

（A）锐角三角形（B）钝角三角形

（C）直角三角形（D）答案不确定

一、填空题：

（每小题9分）

1、已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是．

2、已知θ=arctan，那么复数z=的辐角主值是．

3、在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2－19c2=0,则=．

4、已知点P在双曲线－=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是．

5、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是．

6、已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H－AB－C的平面角等于30°，SA=2，那么三棱锥S—ABC的体积为．

三、（本题满分为20分）

已知当x∈[0，1]时，不等式

x2cosθ－x（1－x）+（1－x）2sinθ>0

恒成立，试求θ的取值范围。

四、（本题满分20分）

给定A（－2，2），已知B是椭圆+=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。

五、（本题满分20分）

给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。

第二试

一、（满分50分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。

在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：

∠GAC=∠EAC.

二、（满分50分）给定实数a，b，c，已知复数z1，z2，z3满足：

求|az1+bz2+cz3|的值．

三、（满分50分）给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。

（1）求k的最小值f（n）；

（2）当且仅当n取什么值时，上述f（n）块砝码的组成方式是唯一确定的？

并证明你的结论。

一九九九年全国高中数学联赛解答

第一试

一．选择题：

（每小题6分）

1．给定公比为q（q≠1）的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…则数列{bn}（）

（A）是等差数列（B）是公比q为的等比数列

（C）是公比为q3的等比数列（D）既非等差数列又非等比数列

解：

由题设，an=a1qn－1，则===q3．

　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．故选C

2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式（|x|－1）2+（|y|－1）2<2的整点（x，y）的个数是（）

（A）16（B）17（C）18（D）25

解：

由（|x|－1）2+（|y|－1）2<2,可得（|x|－1,|y|－1）为（0，0），（0，1），（0，－1），（1，0）或（－1，0）.从而，不难得到（x,y）共有16个．选A

3．若（log23）x－（log53）x≥（log23）–y－（log53）－y，则（）

（A）x－y≥0（B）x+y≥0（C）x－y≤0（D）x+y≤0

解：

记f（t）=（log23）t－（log53）t，则f（t）在R上是严格增函数．原不等式即f（x）≥f（－y）．

　　故x≥－y，即x+y≥0．选B．

4．给定下列两个关于异面直线的命题：

命题1：

若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a,b中的一条相交。

命题2：

不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。

那么（）

（A）命题1正确，命题2不正确

（B）命题2正确，命题1不正确

（C）两个命题都正确

（D）两个命题都不正确

解：

如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．选D

5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

解：

设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得50=C+r+（6－2r），即

（n－3）（n－4）=44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．选B．

6．已知点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是（）

（A）锐角三角形（B）钝角三角形

（C）直角三角形（D）答案不确定

解：

设B（t2,2t）,C（s2,2s）,s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为=，化得2x－（s+t）y+2st=0．

　　由于直线BC过点（5，－2），故2×5－（s+t）（－2）+2st=0，即（s+1）（t+1）=－4．

　　因此，kAB·kAC=·==－1．.

　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．

二．填空题：

（每小题9分）

1、已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是．

解：

首项为a为的连续k个正整数之和为

　　　　　Sk=ka+k（k+1）≥．

　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62．

　　当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；

　　当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；

　　当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953．

　　于是，题中的n有6个．

2、已知θ=arctan，那么复数z=的辐角主值是．

解：

z的辐角主值

　　　　argz=arg[（12+5i）2（239－i）]

　　　　　　=arg[（119+120i）（239－i）]

　　　　　　=arg（28561+28561i）=．

3、在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2－19c2=0,则=．

解：

==

=·==．

4、已知点P在双曲线－=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是．

解：

记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,e==,右准线l为x==．

　　如果P在双曲线右支，则

　　　　　|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a．

　　从而，

　　　　　|PF1|+|PF2|=（ed+2a）+ed=2ed+2a>2d，

　　这不可能；故P在双曲线的左支，则

　　　　　|PF2|－|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d．

　　两式相加得2|PF2|=2a+2d．

　　又|PF2|=ed,从而ed=a+d．

　　故d===16．

　　因此，P的横坐标为－16=－．

5、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是．

解：

设倾斜角为θ，则tanθ=－>0．不妨设a>0，则b<0．

（1）c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复（3x－3y=0,2x－2y=0与x－y=0为同一直线），故这样的直线有3×3－2=7条；

（2）c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条．

　　从而，符合要求的直线有7+36=43条．

6、已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于30°，SA=2，那么三棱锥S—ABC的体积为．

解：

由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=2．

　　因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB．所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，

　　　　OC=SCcos60°=2=，

　　　　SO=tan60°=3．

　　又OC=AB，故AB=OC=×=3．

　　所以，VS-ABC=323=．

三、（本题满分为20分）

已知当x∈[0，1]时，不等式

x2cosθ－x（1－x）+（1－x）2sinθ>0

恒成立，试求θ的取值范围。

解：

若对一切x∈［0，1］，恒有f（x）=x2cosθ－x（1－x）+（1－x）2sinθ>0，

　　则

　　　　cosθ=f

（1）>0,sinθ=f（0）>0.　

（1）

　　取x0=∈（0，1），则x0-（1-x0）=0．

　　由于f（x）=[x-（1-x）]2+2（－+）x（1－x）．

　　所以，0

　　故－+>0　

（2）

　　反之，当

（1），

（2）成立时，f（0）=sinθ>0，f

（1）=cosθ>0，且x∈（0，1）时，

　　　　f（x）≥2（－+）x（1－x）>0．

　　先在［0,2π］中解

（1）与

（2）：

　　由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<．

　　又－+>0，>,

　　　sin2θ>,sin2θ>,

　　注意到