全国高中数学联赛考试及解答.docx

1、全国高中数学联赛考试及解答一九九九年全国高中数学联合竞赛第一试(10月10日上午8:00-9:40)一选择题：（每小题6分）1给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 , ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n , 则数列bn ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列2平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|1)2+(|y|1)20恒成立，试求的取值范围。四、（本题满分20分）给定A（2，2），已知B是椭圆+=1上的动点，F是左焦点，当|AB|

2、+|BF|取最小值时，求B的坐标。五、（本题满分20分）给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1M的所有等差数列a1，a2，a3，试求S=an+1+an+2+a2n+1的最大值。第二试一、(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G求证：GAC=EAC.二、(满分50分)给定实数a，b，c，已知复数z1，z2，z3满足：求|az1+bz2+cz3|的值三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取

3、什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。一九九九年全国高中数学联赛解答第一试一选择题：（每小题6分）1给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 , ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n , 则数列bn ( )(A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列解：由题设，an=a1qn1 ，则=q3因此，bn是公比为q3的等比数列故选C2平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|1)2+(|y|1)22的整点(x，y)的个数是( )（

4、A）16 （B）17 （C）18 （D）25解：由（|x|1)2+(|y|1)22d，这不可能；故P在双曲线的左支，则|PF2|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d两式相加得2|PF2|=2a+2d又|PF2|=ed,从而ed=a+d故d=16因此，P的横坐标为16=5、已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是 解：设倾斜角为，则tan=0不妨设a0，则b0恒成立，试求的取值范围。解：若对一切x0，1，恒有 f(x)=x2cosx(1x)+(1x)2sin0，则cos=f(1)0,sin=f(0)0. (1)取 x0=(0，1)，则x0- (1-x0)=0由于f(x)= x- (1-x)2+2(+)x(1x)所以，00 (2)反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sin0，f(1)=cos0，且x(0，1)时，f(x)2(+)x(1x)0先在0,2中解(1)与(2)：由cos0,sin0，可得00， , sin2, sin2,注意到