辽宁省鞍山市届高三下学期第一次质量检测数学理试题 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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A.7B.6C.5D.4
7.已知函数,则函数满足()
A.最小正周期为B.图象关于点对称
C.在区间上为减函数D.图象关于直线对称
8.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()
A.4B.C.D.8
9.已知(且)恒过定点,且点在直线(,)上,则的最小值为()
A.B.8C.D.4
10.已知点在抛物线上,则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点的坐标为()
11.已知定义域在上的函数满足.当时,.则关于的方程没有负实根时实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
12.过双曲线(,)的右焦点作圆的切线,切点为.直线交抛物线于点,若(为坐标原点),则双曲线的离心率为()
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若,满足约束条件,则的最小值为.
14.现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作,每项工作需要2人,则甲、乙二人必须做同一项工作,而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为.
15.已知等差数列中,,,设为数列的前项和,则.
16.给出下列五个命题:
①“若,则或”是假命题;
②从正方体的面对角线中任取两条作为一对,其中所成角为的有48对;
③“”是方程表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件;
④点是曲线(,)上的动点,且满足,则的取值范围是;
⑤若随机变量服从正态分布,且,则.其中正确命题的序号是(请把正确命题的序号填在横线上).
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知锐角的内角、、的对边分别为、、,且,,的面积为,又,记.
(Ⅰ)求,,的值;
(Ⅱ)求的值.
18.如图四棱锥的底面为菱形,且,,.
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)二面角的余弦值.
19.上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(Ⅱ)假设抽出学生的数学成绩在段各不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数字中任意抽取2个数,有放回地抽取3次,记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为,求的分布列和期望.
20.过椭圆:
上一点向轴作垂线,垂足为右焦点,、分别为椭圆的左顶点和上顶点,且,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与椭圆交于、两点,且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在,求出该定圆的方程;
若不存在,请说明理由.
21.已知函数,其中
(Ⅰ)若函数在处的切线与直线垂直,求的值;
(Ⅱ)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(Ⅲ)若,恒成立,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数,射线与曲线交于点.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点,在曲线上,求的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
设函数,.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若关于的不等式在上恒成立,求实数的最大值.
鞍山市2017年第一次质量调查数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5:
BCBCD6-10:
ADBAD11、12:
AB
二、填空题
13.14.15.16.②④⑤
三、解答题
17.解:
(1)由的面积为,有,即,得,
又为锐角,故
再由余弦定理:
,得,
.
(2)由,知,由为正三角形,即,且,
所以,
所以.
18.解:
(1)证明:
取中点,连结,,由,,知为等腰直角三角形,
,,由,,知为边三角形,,
由得,,又,、平面
平面,又平面,平面平面.
(2)由
(1)、、两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系,则,,,
,,设平面的法向量为,则,取,
则,又平面的一个法向量为,
设二面角的大小为,
易知其为锐角,,
二面角的余弦值为.
19.解:
(1)平均分分.
众数的估计值是75分.
(2)在段的人数(人),
设每次抽取两个数恰好是两名学生的成绩的概率为,则,
显然,的可能取值为0,1,2,3.,
的分布列为:
1
2
3
20.解:
(1)由题意得,所以,.由得,解得,,
由,得,,椭圆的方程为.
(2)假设存在这样的圆.设,.
由已知,以为直径的圆恒过原点,即,所以.
当直线垂直于轴时,,,所以,又,解得,
不妨设,或,,即直线的方程为或,此时原点到直线的距离为.
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,解消去得方程:
,因为直线与椭圆交于,两点,所以方程的判别式
,即,且,.
由,得,
所以,整理得(满足).
所以原点到直线的距离.综上所述,原点到直线的距离为定值,即存在定圆总与直线相切.
21.解:
(1)因为,由在处的切线与直线垂直,
可知,所以;
(2)由题意知,函数的定义域为,,
令,.
(i)当时,,此时,函数在单调递增,无极值点;
(ii)当时,方程的判别式.
①当时,,,,函数在单调递增,无极值点;
②当时,,设方程的两根为,,因为,
的对称轴方程为,所以,,由,
可得.
所以当时,,,函数单调递增;
当时,,,函数单调递减;
当时,,,函数单调递增.因此函数有两个极值点.
(iii)当时,,由,可得,
当时,,,函数单调递增;
当时,,,函数单调递减,所以函数有一个极值点.
综上所述,当时,函数有一个极值点;
当时,函数无极值点;
当时,函数有两个极值点.
(3)由
(2)知,
①当时,函数在单调递增,因为,所以时,,符合题意;
②当时,,得,函数在上单调递增,又,所以时,,符合题意;
③当时,设,因为时,所以,所以在上单调递增,所以,即,可得,而当时,,即此时,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
22.解:
(Ⅰ)将及对应的参数,代入,得,即,
所以曲线的方程为(为参数),或.设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入,得,即.
(或由,得,代入,得),
所以曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)因为点,在曲线上,所以,
,所以.
23.解:
(1)
由得或,解得或,
所以不等式的解集为;
(2)由绝对值的性质得,
所以最小值为,从而,解得,因此的最大值为.