辽宁省鞍山市届高三下学期第一次质量检测数学理试题 Word版含答案Word格式文档下载.docx

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A．7B．6C．5D．4

7．已知函数，则函数满足（）

A．最小正周期为B．图象关于点对称

C．在区间上为减函数D．图象关于直线对称

8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A．4B．C．D．8

9．已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（）

A．B．8C．D．4

10．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）

11．已知定义域在上的函数满足.当时，.则关于的方程没有负实根时实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

12．过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．若，满足约束条件，则的最小值为．

14．现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作，每项工作需要2人，则甲、乙二人必须做同一项工作，而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为．

15．已知等差数列中，，，设为数列的前项和，则．

16．给出下列五个命题：

①“若，则或”是假命题；

②从正方体的面对角线中任取两条作为一对，其中所成角为的有48对；

③“”是方程表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件；

④点是曲线（，）上的动点，且满足，则的取值范围是；

⑤若随机变量服从正态分布，且，则.其中正确命题的序号是（请把正确命题的序号填在横线上）．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，又，记.

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）求的值.

18．如图四棱锥的底面为菱形，且，，.

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）二面角的余弦值.

19．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中抽取80名学生的数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；

（Ⅱ）假设抽出学生的数学成绩在段各不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数字中任意抽取2个数，有放回地抽取3次，记这3次抽取中恰好有两名学生的数学成绩的次数为，求的分布列和期望.

20．过椭圆：

上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，、分别为椭圆的左顶点和上顶点，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；

若不存在，请说明理由.

21．已知函数，其中

（Ⅰ）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（Ⅲ）若，恒成立，求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.

23．选修4-5：

不等式选讲

设函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.

鞍山市2017年第一次质量调查数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

BCBCD6-10:

ADBAD11、12：

AB

二、填空题

13．14．15．16．②④⑤

三、解答题

17．解：

（1）由的面积为，有，即，得，

又为锐角，故

再由余弦定理：

，得，

.

（2）由，知，由为正三角形，即，且，

所以，

所以.

18．解：

（1）证明：

取中点，连结，，由，，知为等腰直角三角形，

，，由，，知为边三角形，，

由得，，又，、平面

平面，又平面，平面平面.

（2）由

（1）、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，

，，设平面的法向量为，则，取，

则，又平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，

易知其为锐角，，

二面角的余弦值为.

19．解：

（1）平均分分.

众数的估计值是75分.

（2）在段的人数（人），

设每次抽取两个数恰好是两名学生的成绩的概率为，则，

显然，的可能取值为0，1，2，3.，

的分布列为：

1

2

3

20．解：

（1）由题意得，所以，.由得，解得，，

由，得，，椭圆的方程为.

（2）假设存在这样的圆.设，.

由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.

当直线垂直于轴时，，，所以，又，解得，

不妨设，或，，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：

，因为直线与椭圆交于，两点，所以方程的判别式

，即，且，.

由，得，

所以，整理得（满足）.

所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.

21．解：

（1）因为，由在处的切线与直线垂直，

可知，所以；

（2）由题意知，函数的定义域为，，

令，.

（i）当时，，此时，函数在单调递增，无极值点；

（ii）当时，方程的判别式.

①当时，，，，函数在单调递增，无极值点；

②当时，，设方程的两根为，，因为，

的对称轴方程为，所以，，由，

可得.

所以当时，，，函数单调递增；

当时，，，函数单调递减；

当时，，，函数单调递增.因此函数有两个极值点.

（iii）当时，，由，可得，

当时，，，函数单调递增；

当时，，,函数单调递减，所以函数有一个极值点.

综上所述，当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点.

（3）由

（2）知，

①当时，函数在单调递增，因为，所以时，，符合题意；

②当时，，得，函数在上单调递增，又，所以时，，符合题意；

③当时，设，因为时，所以，所以在上单调递增，所以，即，可得，而当时，，即此时，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.

22．解：

（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得，即，

所以曲线的方程为（为参数），或.设圆的半径为，由题意，圆的方程为，（或）.将点代入，得，即.

（或由，得，代入，得），

所以曲线的直角坐标方程为.

（Ⅱ）因为点，在曲线上，所以，

，所以.

23．解：

（1）

由得或，解得或，

所以不等式的解集为；

（2）由绝对值的性质得，

所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.