全国初中数学竞赛试题及答案Word文档下载推荐.docx

全国初中数学竞赛试题及答案Word文档下载推荐.docx

《全国初中数学竞赛试题及答案Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛试题及答案Word文档下载推荐.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

A、＜a＜B、a＞C、a＜D、＜a＜0

6．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【】

A、B、C、D、a＋b

二、填空题

7．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则（x1－2x2）（x2－2x1）的最大值为。

8．已知a、b为抛物线y＝（x－c）（x－c－d）－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为。

9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。

10．如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为cm2。

11．满足（n2－n－1）n＋2＝1的整数n有个。

12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为。

三、解答题

13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；

由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；

由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。

现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。

（1）求证：

（2）求证：

16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：

（1）2a、2b、c都是整数；

（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；

反过来，如果

（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则的值为（）。

A、B、C、2D、3

答案：

A.由题意:

>

0，且===3。

2.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（）。

A、0B、1C、2D、3

原式=[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=[1+1+4]=3。

3.如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于（）。

A、B、C、D、

设S矩形ABCD=1。

因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点，

所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；

SΔGAE=SΔGBE，设为y。

则,得2x+2y=.

所以S四边形AGCD=.从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.

4.设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋，y＝b2－2c＋，z＝c2－2a＋，则x、y、z中至少有一个值（）。

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

由题意:

x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2+-3>

0,所以x、y、z中至少有一个大于0.

5.设关于x的方程ax2＋（a＋2）x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（）。

A、＜a＜B、a＞C、a＜D、＜a＜0

由题知:

（x1-1）（x2-1）<

0,即x1x2-（x1+x2）+1<

0,代入韦达定理并整理得<

0,可知选（A）.

6.A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于（）。

A、B、C、D、a＋b

.延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:

ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。

所以A1A5=PA1=a+b.

二、填空题（每小题5分，共30分）

7.设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则（x1－2x2）（x2－2x1）的最大值为。

由Δ=（a-2）2+4>

0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2（x1+x2）2=-2a2+9a-18≤-.

8.已知a、b为抛物线y＝（x－c）（x－c－d）－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则的值为。

（a-c）（a-c-d）-2=0,（b-c）（b-c-d）-2=0.所以a-c和b-c是方程t（t-d）-2=0（即t2-dt-2=0）的两实根.所以（a-c）（b-c）=-2<

0.而a<

b,即a-c<

b-c.所以a-c<

0,b-c>

0.所以原式=b-a.

9.如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。

易证:

ΔPAB∽ΔBCP,所以=,得PB=4

10.如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为cm2。

设⊙O3的半径为x,则O1O3=+x，O1O=,O3O=-x.所以（+x）2=（）2+（-x）2,解得x=,易得菱形O1O3O2O4的面积为a2.

11.满足（n2－n－1）n＋2＝1的整数n有个。

由题设得n2-n-1=±

1,有5个根:

0,1,-1,2.和-2

12.某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为。

设成本为a,则a（1+p%）（1-d%）=a,得d=.

三、解答题（每小题20分，共60分）

13.某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；

设单独完成,甲、乙、丙各需a、b、c天.则

解得a=4,b=6,c=10（c>

7,舍去）.

又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z（元）,则

解得x=45500,y=29500,所以甲4天完成的总费用为182000元,乙6天完成的总费用为177000元,所以由乙承包.

14.如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。

（1）易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2,

所以ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立.

（2）分析:

易证∠6=∠4,所以FC∥ED,所以=

所以只需证=,

由

（1）有=。

所以只需证=,即QD2=CQ×

EQ.

这只需证ΔCQD∽ΔEQD.

而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5,

由

（1）有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD,

所以可证得ΔCQD∽ΔEQD.

15.如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。

（1）由题设知,可分别令x=0、-1、1，得

则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数.（其中m、n、k为整数）

（2）假设2b为奇数2t+1（t为整数）.

取x=4得16a+4b+m2=h2（h为整数）.

因2a为整数,从而16a可被4整除.

所以16a+4b=16a+4t+2除以4余2.

所以16a+4b为偶数.①

又因为16a+4b=（h+m）（h-m）.

若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=（h+m）（h-m）为奇数,这与①矛盾.

若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=（h+m）（h-m）能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾.

所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.

所以a=k2+b-c为整数.

反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:

取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数.