高中三年级数学导数的应用检测试题Word格式文档下载.docx

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（1）求k的值；

（2）求f（x）的单调区间．

若函数f（x）＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

类型三利用导数研究函数的极值与最值

[例3]　（2012年高考北京卷）已知函数f（x）＝ax2＋1（a>

0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1]上的最大值．

（2012年珠海摸底）若函数f（x）＝，在[－2，2]上的最大值为2，则a的取值范围是（　　）

A．[ln2，＋∞）　　　B．[0，ln2]C．（－∞，0]D．（－∞，ln2]

导数应用同步作业

一、选择题

1．设a为实数，函数f（x）＝x3＋ax2＋（a－2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为（　　）

A．y＝－2x　　　B．y＝3xC．y＝－3xD．y＝4x

2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，则f′

（1）＝（　　）

A．－eB．－1C．1D．e

3．函数f（x）＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．无数个

4．（2011·

浙江高考）设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）．若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f（x）图像的是（　　）

二、填空题

5．（2011·

嘉兴模拟）已知函数f（x）＝xex，则f′（x）＝__________；

函数f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线方程为__________．

6．已知函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为____________．

7．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′（x）的图像经过点（1,0），（2,0），如图所示，则下列说法中不正确的是________．

①当x＝时函数取得极小值；

②f（x）有两个极值点；

③当x＝2时函数取得极小值；

④当x＝1时函数取得极大值．

三、解答题

8．已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1－（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

9．已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx＋c在（－∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

（1）求b的值；

（2）求f

（2）的取值范围．

10．（2011·

江苏高考）已知a，b是实数，函数f（x）＝x3＋ax，g（x）＝x2＋bx，f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）·

g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．

（1）设a＞0.若f（x）和g（x）在区间[－1，＋∞）上单调性一致，求b的取值范围；

（2）设a＜0且a≠b.若f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．

第三讲　导数的应用（聚焦突破）

[解析]　∵f′（x）＝aex－，

∴f′

（2）＝ae2－＝，

解得ae2＝2或ae2＝－（舍去），

所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，

即b＝，

故a＝，b＝.

解析：

（1）由题意得f′（x）＝3x2－1.曲线y＝f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为y－f（t）＝f′（t）（x－t），即y＝（3t2－1）·

x－2t3，将点（1，0）代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－，代入y＝（3t2－1）x－2t3得曲线y＝f（x）的过点（1，0）的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.

（2）由

（1）知若过点（a，0）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根，记g（t）＝2t3－3at2＋a.

则g′（t）＝6t2－6at＝6t（t－a）．

当a>

0时，函数g（t）的极大值是g（0）＝a，极小值是g（a）＝－a3＋a，要使方程g（t）＝0有三个相异的实数根，需使a>

0且－a3＋a<

0，即a>

0且a2－1>

1；

当a＝0时，函数g（t）单调递增，方程g（t）＝0不可能有三个相异的实数根；

当a<

0时，函数g（t）的极大值是g（a）＝－a3＋a，极小值是g（0）＝a，要使方程g（t）＝0有三个相异的实数根，需使a<

0且－a3＋a>

0，即a<

－1.

综上所述，a的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

函数的单调性与导数的关系

在区间（a，b）内，如果f′（x）>

0，那么函数f（x）在区间（a，b）上单调递增；

如果f′（x）<

0，那么函数f（x）在区间（a，b）上单调递减．

[例2]　（2012年高考山东卷改编）已知函数f（x）＝（k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与x轴平行．

[解析]　

（1）由f（x）＝，

得f′（x）＝，x∈（0，＋∞）．

由于曲线y＝f（x）在（1，f

（1））处的切线与x轴平行，

所以f′

（1）＝0，因此k＝1.

（2）由

（1）得f′（x）＝（1－x－xlnx），x∈（0，＋∞）．

令h（x）＝1－x－xlnx，x∈（0，＋∞），

当x∈（0，1）时，h（x）>

0；

当x∈（1，＋∞）时，h（x）<

0.

又ex>

0，所以当x∈（0，1）时，f′（x）>

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<

因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）．

由题知f′（x）＝－ax－2＝－，因为函数f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＝－≤0有解．又因为函数的定义域为（0，＋∞），则应有ax2＋2x－1≥0在（0，＋∞）上有实数解．

（1）当a>

0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在（0，＋∞）上恒有解；

（2）当a<

0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在（0，＋∞）上有实数解，则Δ＝>

0，此时－1<

a<

（3）当a＝0时，显然符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是（－1，＋∞）．

1．求函数y＝f（x）在某个区间上的极值的步骤

（1）求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根x0；

（3）检查f′（x）在x＝x0左右的符号；

①左正右负⇔f（x）在x＝x0处取极大值；

②左负右正⇔f（x）在x＝x0处取极小值．

2．求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；

（2）将y＝f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

[例3]　（2012年高考北京卷）已知函数f（x）＝ax2＋1（a>

[解析]　

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b，

因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，

所以f

（1）＝g

（1），且f′

（1）＝g′

（1）．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.

解得a＝3，b＝3.

（2）记h（x）＝f（x）＋g（x）．当b＝a2时，

h（x）＝x3＋ax2＋a2x＋1，

h′（x）＝3x2＋2ax＋a2.

令h′（x）＝0，得x1＝－，x2＝－.

a>

0时，h（x）与h′（x）的变化情况如下：

所以函数h（x）的单调递增区间为（－∞，－）和（－，＋∞）；

单调递减区间为（－，－）．

当－≥－1，即0<

a≤2时，

函数h（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h（－1）＝a－a2.

当－<

－1，且－≥－1，即2<

a≤6时，

函数h（x）在区间（－∞，－）上单调递增，在区间（－，－1]上单调递减，h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h（－）＝1.

－1，即a>

6时，

函数h（x）在区间（－∞，－）上单调递增，在区间（－，－）上单调递减，在区间（－，－1]上单调递增，又因为h（－）－h（－1）＝1－a＋a2＝（a－2）2>

0，所以h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h（－）＝1.

A．[ln2，＋∞）　　　　　　　B．[0，ln2]

C．（－∞，0]D．（－∞，ln2]

当x≤0时，f′（x）＝6x2＋6x，易知函数f（x）在（－∞，0]上的极大值点是x＝－1，且f（－1）＝2，故只要在（0，2]上，eax≤2即可，即ax≤ln2在（0，2]上恒成立，即a≤在（0，2]上恒成立，故a≤ln2.

答案：

D

A．y＝－2x　　　　　　　　　B．y＝3x

C．y＝－3xD．y＝4x

由已知