届天津市红桥区高三第二次模拟考试 数学文扫描版Word格式.docx

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答案

C

D

A

B

二、填空题：

每小题5分，共30分．

9

10

11

12

13

14

三、解答题：

共6小题，共80分．

（15）（本小题满分13分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．

（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定?

请说明理由；

（Ⅱ）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；

（Ⅲ）在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．

解：

（Ⅰ）派甲参加比较合适，理由如下：

，

，……………………………3分

=35.5，

=41，………………………………6分

∴甲的成绩比较稳定．……………………………………………………………7分

（Ⅱ）．……………………………………………………………9分

（Ⅲ）从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15个．…………………………………………………11分

其中，满足2个成绩均大于85分的有，，，共3个，

所以，所求概率为．…………………………………………………13分

（16）（本小题满分13分）

设函数．

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）已知中，角的对边分别为，若，，，求边．

（Ⅰ），

所以函数的最大值为2，最小正周期．……………………………6分

（Ⅱ）由，得．

由，得．

又，得，

由余弦定理：

．

所以．…………………………………………………………………13分

（17）（本小题满分13分）

如图，已知平面，平面，且．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

（Ⅰ）证明：

∵平面，平面，

平面，平面，

∴，，又，

∴平面．………………………………………………4分

（Ⅱ）∵平面，，

已知，∴，

∵平面，∴，

又∵，∴∴，

取的中点，连结，则，

∴为二面角的平面角，

∵，∴．

故二面角的正弦值为．…………………………………13分

（18）（本小题满分13分）

已知数列的前项和为，且满足，（），其中．

（Ⅰ）当时，求和；

（Ⅱ）已知，若，，成等差数列，求证：

对任意的自然数，，，成等差数列；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，是否存在正整数，使得成等比数列？

若存在，求出所有的的值；

若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）当时，数列为，公比为的等比数列，

所以，．--------------------------------3分

（Ⅱ）当时，，，所以，，成等差数列．

当时，为，公比为的等比数列，所以．-----4分

时，为常数列，所以，，成等差数列；

时，．

因为，，成等差数列，所以，

得，即．-------------------7分

所以，

所以，即，，成等差数列．----------------9分

（Ⅲ）当时，=，若成等比数列，

则，即，可得．

所以，解得：

又，且，所以，此时．

故当且仅当，使得成等比数列．…………………………13分

（19）（本小题满分14分）

如图椭圆的右顶点是，上下两个顶点分别为，四边形是矩形（为原点），点分别为线段的中点．

直线与直线的交点在椭圆上；

（Ⅱ）已知圆：

，直线：

，当点在椭圆上运动时，求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

（Ⅰ）由题意，得，，，，，

所以直线的方程，直线的方程为，…………2分

由得

所以直线与直线的交点坐标为，…………………………………4分

因为，所以点在椭圆上．………………6分

（Ⅱ）∵点在椭圆上运动，

∴，①．

圆心到直线的距离．-----------------------8分

∵直线被圆所截得的弦长，----------------------------10分

将①代入，得．

∵，∴，----------------------------------------12分

所以．

故直线被圆所截得的弦长的取值范围．………………………14分

（20）（本小题满分14分）

已知函数，．

（Ⅰ）当时，若直线过点且与曲线相切，求直线的线方程；

（Ⅱ）当时，判断方程在区间上有无实根；

（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅰ）令切点为，当时，，，

∴，切线的方程为，

又直线过点，，

切线方程为．………………………………………………………5分

（Ⅱ）时，令，

，在上为增函数，

又，所以在内无实数根．…………………………10分

（Ⅲ）恒成立，即恒成立，

又，则当时，恒成立，

令，只需小于的最小值，

，…………………………………………11分

，，当时，

在上单调递减，在的最小值为，

则的取值范围是．……………………………………14分