五年级奥数.行程.环形跑道.教师版.docx

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环形跑道

知识框架

本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。

是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：

路程和=相遇时间×速度和

路程差=追及时间×速度差

二、解环形跑道问题的一般方法：

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环线型

同一出发点

直径两端

同向：

路程差

nS

nS+0.5S

相对（反向）：

路程和

nS

nS-0.5S

例题精讲

【例1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】黄莺和麻雀每分钟共行（千米），那么周长跑道里有几个米，就需要几分钟，即（分钟）．

【答案】分钟

【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。

已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。

在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】填空

【解析】几分钟相遇一次：

480÷（55＋65）=4（分钟）

10次相遇共用：

4×10=40（分钟）

王老师40分钟行了：

55×40=2200（米）

2200÷480=4（圈）……280（米）

所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）

答：

再走200米回到出发点。

【答案】200米

【例2】上海小学有一长米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑米，小胖每秒钟跑米，小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？

小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要秒，小亚跑了（米）。

小胖跑了（米）；第一次追上时，小胖跑了圈，小亚跑了圈，所以第二次追上时，小胖跑圈，小亚跑圈。

【答案】小胖跑圈，小亚跑圈

【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为米的环形跑道上跑步．小王的速度是米/分．⑴小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是（米/分）．

⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：

（分）．（圈）．

【答案】⑴米/分⑵圈

【例3】小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据，可知小新第一次超过正南需要：

（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要（分钟）．

【答案】分钟

【巩固】幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程．

①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：

（秒）

②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：

（米）

③晶晶第一次被追上时所跑的路程：

（米）

④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：

（圈）

⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：

（圈）

【答案】圈

【例4】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题．同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长．这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度．环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：

（米/分），所以路程差为：

（米），即环形道一圈的长度为2250米．所以反向出发的相遇时间为：

（分钟）．

【答案】分钟

【巩固】两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。

如果同向而行，几秒后两人再次相遇

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】（4+3）×45=315米——环形跑道的长（相遇问题求解）315÷（4-3）=315秒——（追及问题求解）

【答案】315秒

【例5】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：

路程和速度和相遇时间．同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，两个人的速度和为：

（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：

（米/秒）.两人的速度分别为：

（米/秒），（米/秒）

【答案】米/秒

【巩固】在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】甲乙的速度和为：

（米/秒），甲乙的速度差为：

（米/秒），甲的速度为：

（米/秒），乙的速度为：

（米/秒）．

【答案】米/秒

【例6】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。

已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。

在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】两人每共走1圈相遇1次，用时480÷（55+60）=4（分），到第10次相遇共用40分钟，王老师共走了。

55×40=2200（米），要走到出发点还需走，480×5-2200=200（米）

【答案】200米

【巩固】在周长为200米的圆形跑道—条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒，5米/秒的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。

问：

16分钟内，甲追上乙多少次?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是＝100（米）．所需要的时间是（秒）以后，两人每隔（秒）相遇一次因为＝53.3，

16分钟内二人相遇53次.

【答案】53次

【例7】甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6分甲第一次超过乙，22分时甲第二次超过乙。

假设两人的速度保持不变，问：

出发时甲在乙后面多少米？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】150米。

提示：

甲超过乙一圈（400米）需22－6＝16（分）。

【答案】16分

【巩固】在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。

甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。

甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。

那么甲追上乙需要时间是多少秒？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒；乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒；这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。

正好追上。

【答案】140秒

【例8】有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】由题意知道：

甲走完一周需要时间为300÷120=（分）；乙走完一周需要时间为300÷100=3（分）丙走完一周需要时间为300÷700=，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：

分

【答案】分

【巩固】如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米。

问：

从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】三个运动员走完一圈的时间分别为小时、小时、小时，他们三人相遇地点只能是点，所以三人相遇时间是小时、小时、小时的公倍数，即小时，分别跑了2圈、4圈、3圈，共计4.5千米。

【答案】4.5千米

【例9】林琳在450米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？

【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2

X/2*5+X/2*4=450

X=100

总共跑了100秒

前50秒每秒跑5米，跑了250米

后50秒每秒跑4米，跑了200米

后一半的路程为450÷2=225米

后一半的路程用的时间为（25