专题67 多变量的函数问题高考数学备考文档格式.docx

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（1）由题意，对恒成立.

∵

∴对恒成立，

∴，从而．

（2）①，则．

若，则存在，使，不合题意.

∴．

取，则．

此时．

∴存在，使．

②依题意，不妨设，令，则．

下面证明，即证明，只要证明．

设，则在恒成立．

∴在单调递减，故，从而得证．

∴，即．

2．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，，为自然对数的底数.当时，若，，不等式成立，求的最大值.

（1）单调递减区间是，单调递增区间是；

（2）3

【解析】试题分析：

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题等价于等价于，对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

试题解析：

（1）对函数求导得，

令，得，

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

即对恒成立，

因为时，

所以对恒成立，

设，

则，

令，则，

当时，，

所以函数在上单调递增，

而，，

所以，

所以存在唯一的，使得，即，

当时，，，所以函数单调递减；

当时，，，所以函数单调递增，

所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，

因为，

又，且，

所以的最大整数值是.

3．已知函数是偶函数，且满足，当时，，当时，的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.

（1）2；

（2）或

使不等式恒成立”等价于“”，故可将问题转化为求函数的最大值或其值域．

（1）∵，即，

∴，

∴当时，，

∴.

又，

∴恒成立，

∴在上单调递增，

令，解得．

∴实数的值为2．

（2）当时，，

∴函数在单调递增，

∴当时，．

又当时，，

解得；

②当时，,函数在区间单调递减，

同①可得，

综上或．

∴实数的取值范围．

4．已知

（1）求函数的极值；

（2）设，对于任意，总有成立，求实数的取值范围.

【答案】

（1）的极小值为：

，极大值为：

（2）

试题解析:

（1）

所以的极小值为：

；

（2）由

（1）可知当时，函数的最大值为

对于任意，总有成立，等价于恒成立，

①时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意.

②当时，设，，

所以在上单调递增，且，则存在，使得

所以在上单调递减，在上单调递增，又，

所以不恒成立，不合题意.

综合①②可知，所求实数的取值范围是.

5．已知函数，．

（）求函数的单调区间．

（）若对任意，，恒成立，求的取值范围．

（）单调增区间为，单调减区间和．（）．

（）．

令，则，令，则或．

故函数的单调增区间为，单调减区间和．

（）依题意，“对于任意，，恒成立”等价于“对于任意，恒成立”．

由（）知，函数在上单调递增，在上单调递减．

∵，，∴函数的最小值为，

∵，∴．

∵，令，得，．

①当，即时，当时，，函数在上单调递增，

∴函数．

由得，，

②当，即时，时，时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，的取值范围是．

6．已知函数.

（1）若是的一个极值点，求的最大值；

（2）若，，都有，求实数的取值范围.

（1）；

（2）.

大小,分成两类,利用分离常数法求得的取值范围.

【试题解析】

（1），

由题意得，即，所以，

当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以.

令函数，

当时，在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，

所以在上单调递减，故，

所以实数的取值范围为.

同理，当时，在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，

所以在上单调递减，故.

所以实数的取值范围为，

综上，实数的取值范围为.