解三角形专题复习(精编)Word文件下载.doc

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（2）边关系：

a+b>

c，b+c>

a，c+a>

b，a－b<

c，b－c<

a，c－a>

b；

（3）大边对大角：

（五）三角形形状判别

形状锐角△钝角△直角△等腰△等腰Rt△等边△

（1）角判别：

（2）边判别：

少用少用

◆考点剖析

（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用

例1、在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,,求的长.

例2、如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值．

变式1、在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，

（１）求∠Ａ的大小；

（２）求的值

变式2、在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值

变式3、在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。

（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用

例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。

问：

点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

变式4、△ABC中的三和面积Ｓ满足Ｓ＝，且，求面积Ｓ的最大值。

例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积．

变式5、已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积

例5、（2009浙江）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积；

（II）若，求的值．

变式6、已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

（三）考查三角形形状的判断

例6、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。

（1）判断△ABC的形状；

（2）求△ABC的面积。

变式7、在△ABC中，若.

（1）判断△ABC的形状；

（2）在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。

例7、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。

变式8、在△ABC中，cos2＝，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为

A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

变式9、△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状。

（四）考查应用：

求角度、求距离、求高度

例8、在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.

变式12、如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得，，，，，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；

参考数据：

）

◆课后强化

1．在△ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是（）

Ａ.　Ｂ．　Ｃ．　　Ｄ．

2．△ABC中，若sinA：

sinB：

sinC=m：

（m+1）：

2m,则m的取值范围是（）

Ａ．（０，＋∞）　　Ｂ．（，＋∞）　　Ｃ．（１，＋∞）　Ｄ．（２，＋∞）　

3．在△ABC中，A为锐角，lgb+lg（）=lgsinA=－lg,则△ABC为（ 

）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（　　）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

5、在△ABC中，已知则角Ｃ＝（　　）

Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．

6、△的三内角所对边的长分别为设向量

,若,则角的大小为

（A）（B）（C）（D）

8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定

9．已知△ABC中，＝（）成立的条件是（　　　　）

Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　

Ｃ．且　Ｄ．或

10、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°

的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）

A．分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟

11．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β）则A点离地面的高AB等于（）

A．　　B．C． D．

12、已知△中，，，，，，则（）

A.．B．C．D．或

13．在中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则

ABCD

14、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则

　　A．和都是锐角三角形

　　B．和都是钝角三角形

　　C．是钝角三角形，　是锐角三角形

　　D．是锐角三角形，是钝角三角形

15.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为（）

　　A．79 B．69C．5 D．-5

16、如果，那么△ABC是

17．已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范围是_________　　

18、（2009湖南）在锐角中，则的值等于，

的取值范围为.

19．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°

，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°

，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq=.

20、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______

21．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求的值．

22．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．

23、在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。

24、在△ABC中，，求sinB的值。

25、在,

（1）求

（2）若点

26．已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根,角A、B满足，求角C、边c及Ｓ△ABC。

27．在中，已知内角，边.设内角,周长为.

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

28、的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

29、在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

30、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的外接圆半径R=，且满足.

（1）求角B和边b的大小；

（2）求△ABC的面积的最大值。

31、（2005湖北）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

32、已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为.

（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

33、在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c=，且tanA+tanB=tanA·

tanB－，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值。

◆详细解析

例1、解：

由正弦定理，得∵Ａ＝２Ｃ∴

∴又　∴　　　　　　　①

由余弦定理，得　　　　　　　②

入②，得　∴

例2、【解】由于为正三角形的中心，∴，

，设，则，

在中，由正弦定理得：

，

∴，在中，由正弦定理得：

∴，

∵，∴，故当时取得最大值，

所以，当时，此时取得最小值．

变式1、解（１）∵∴

在△ABC中，由余弦定理得

∴∠Ａ＝

（２）在△ABC中，由正弦定理得

∵∴

变式2、解：

设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE=x

在ΔBDE中利用余弦定理可得：

，解得，（舍去）

故BC=2，从而，即

又，故，

变式3、解（I）∵为锐角，

∴

∵∴

（II）由（I）知，∴

由得，即

又∵∴∴

∴

例3、解：

设，在△AOB中，由余弦定理得：

于是，四边形OACB的面积为

S=S△AOB+S△ABC

因为，所以当，，即时，

四边形OACB面积最大．

变式4、解∵

由余弦定理,得∴

∴∵

∴

∴∴

∵∴0＜＜2

∴当时，Ｓmax=

例4、解：

（1）由

∴4cos2C－4cosC＋１＝０

解得　∵0°

＜C＜180°

∴C=60°

∴C＝60°

（2）由余弦定理得C2＝a2＋b2－2abcosC即7＝a2＋b2－ab①

又a＋b＝5∴a2＋b2＋2ab＝25②

由①②得ab＝6

∴S△ABC＝

变式5、解：

如图，连结ＢＤ，则四边形面积

Ｓ＝Ｓ△ABD+Ｓ△BCD=

∵A+C=1800∴sinＡ=sinC

∴Ｓ＝=16sinＡ

由余弦定理,知在△ABC中，

在△CDB中,∴

又∴Ａ＝1200

∴Ｓ＝16sinＡ＝

例5、解

（1）因为