角平分线模型精华篇Word格式文档下载.docx
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结论:
①△ACD≌△ABD;
②CD=DB
(角分线垂两边,对称全等必呈现)
(2)角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现:
遇到垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形;
OP平分∠AOB,MP⊥OP,垂足为P,延长MP交OB于点N;
①△OPM≌△OPN;
②△OMN为等腰三角形;
③P是MN的中点(三线合一);
(3)在角的两边上截取相等的线段,构造全等三角形:
OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点;
在OA上取一点E,在OB取一点F,使得OE=OF,并连接DE,
△OED≌△OFD;
(4)作平行线
①以角分线上一点作角的另一边的平行线,则△OAB等腰三角形;
②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交,则△ODH等腰三角形;
OP平分∠MON,AB∥ON,已知:
OC平分∠AOD,DH∥OC,
△OAB等腰三角形结论:
△ODH等腰三角形
一、角平分线模型应用
1.角平分线+两边垂线→全等三角形
过点G作GE射线AC
AD是∠BAC的角平分线,CD⊥AC,DB⊥AB,
求证:
CD=DB
证明:
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠1=∠2,
∵CD⊥AC,DB⊥AB,
∴∠ACD=∠ABD=90°
,
在△ACD和△ABD中,
∴△ACD≌△ABD(AAS)
∴CD=BD
例1:
∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AP平分∠BAC.
例2:
如图,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,过D作DE⊥AB、DF⊥AC,
垂足分别为E、F.求证:
BE=CF.
例3:
如图,在△ABC中,AC>AB,M是BC中点,AN平分∠BAC,若AN⊥BD且交BD的延长线于点D,求证:
MN=(AC-AB).
例4:
如图,在△ABC中,M为BC的中点,DM⊥BC,DM与∠BAC的角平分线交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:
角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现
例:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,∠1=∠2,CE⊥BE交BA的延长于F.
BD=2CE
例、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证:
2AM=(AB+AC)
如图,已知△ABC中,CF平分∠ACB,且AF⊥CF,∠AFE+∠CAF=180°
EF∥BC.
截取构造全等:
例.
如图,AB>
AC,∠1=∠2,求证:
AB-AC>
BD-CD。
例:
如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+CD.
在中,,是的平分线.是上任意一点.
.
已知△ABC中,AB=AC,∠A=100°
,∠B的平分线交AC于D,
A
C
B
D
AD+BD=BC
角平分线+平行线模型
例1、△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O,MN经过点O,且MN∥BC交AB、AC分别于点M、N;
△AMN的周长是AB+AC;
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