绝对值知识点及练习Word格式.doc
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b可以推出|a|>
b;
(5)|a·
b|=|a|·
|b|;
(6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0);
(7)|a+b|小于等于|a|+|b|,当且仅当a、b同号时,等式成立;
(8)|a-b|大于等于||a|-|b||,当且仅当a、b同号时,等式成立;
(9)a属于R时,|a|的平方等于|a|的平方。
特别提醒:
(1)绝对值具有非负性,即|a|≥0;
(2)绝对值相等的两个数,它们相等或互为相反数;
(3)0是绝对值最小的有理数。
3、利用绝对值比较大小
(1)利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
比较的具体步骤:
①先求两个负数的绝对值;
②比较绝对值的大小;
③根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出判断.
(2)几个有理数的大小比较
①同号两数,可以根据它们的绝对值来比较:
a.两个正数,绝对值大的数较大;
b.两个负数,绝对值大的反而小.
②多个有理数的大小比较,需要先将它们按照正数、0、负数分类比较,然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较.
4、利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要,反过来又可以运用它解决一些实际问题,主要有以下两类:
(1)判断物体或产品质量的好坏
可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度,绝对值越小,越接近标准,质量就越好.
方法:
①求每个数的绝对值;
②比较所求绝对值的大小;
③根据“绝对值越小,越接近标准”作出判断.
(2)利用绝对值求距离
路程问题中,当出现用“+”、“-”号表示的带方向的路程,求最后的总路程时,实际上就是求绝对值的和.
②求所有数的绝对值的和;
③写出答案.
5、去绝对值符号的几种常用方法:
(1)利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即||=,有||<
;
||>
(2)利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化||<
或||>
(>
0)来解,如||>
0)可为>
或<
-;
||<
可化为-<
+<
,再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“≤||≤≤≤或-≤≤-”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
(3)利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用||=可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
(4)利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法,是指:
若数,,……,分别使含有|-|,|-|,……,|-|的代数式中相应绝对值为零,称,,……,为相应绝对值的零点,零点,,……,将数轴分为+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。
(5)利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。
数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于或(为正常数)类型不等式。
对(或<
),当||≠||时一般不用。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。
当a>
0时,︱a︱=a(性质1,正数的绝对值是它本身);
当a=0时︱a︱=0(性质2,0的绝对值是0);
当a<
0时;
︱a︱=–a(性质3,负数的绝对值是它的相反数)。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
我们只要把a+b看作是一个整体,判断出a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去掉绝对值符号,正确进行化简。
当a+b>
0时,︱a+b︱=a+b(性质1,正数的绝对值是它本身);
当a+b=0时,︱a+b︱=0(性质2,0的绝对值是0);
当a+b<
0时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3,负数的绝对值是它的相反数)
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样,按上面的方法,我们仍然把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,根据绝对值的3个性质,去掉绝对值符号。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小,所以当a>
b时,︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记住口诀:
无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题,
根据3的口诀来化简,更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边,便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b。
5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比较,大于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号。
练习
一、选择
1、绝对值为4的有理数是()A.±
4B.4C.-4D.2
2、两个数的绝对值相等,那么()A.这两个数一定是互为相反数;
B.这两个数一定相等;
C.这两个数一定是互为相反数或相等;
D.这两个数没有一定的关系
3、绝对值小于4的整数有()A.3个B.5个C.7个D.8个
4、绝对值与相反数都是它的本身()A.1个B.2个C.3个D.不存在
5、若m为有理数,且那么m是() A.非整数B.非负数C.负数D.不为零的数
6、下列说法中,错误的是(
)
A、一个数的绝对值一定是正数
B、互为相反数的两个数的绝对值相等
C、绝对值最小的数是0
D、绝对值等于它本身的数是非负数
7、下列结论中,正确的有(
①符号相反且绝对值相等的数互为相反数;
②一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远;
③两个负数,绝对值大的它本身反而小;
④正数大于一切负数;
⑤在数轴上,右边的数总大于左边的数.
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
8、一个数的绝对值是它本身,那么这个数是(
(A)正数
(B)正数或零
(C)零
(D)有理数
9、如果一个数的绝对值是5.2,那么这个数是(
(A)5.2
(B)-5.2
(C)5.2或-5.2
(D)以上都不对
10、任何有理数的绝对值都是(
(B)负数
(C)有理数
(D)正数或零
11、在-(-8),|-1|,-|0|,-0.0001这四个有理数中,负数共有(
(A)4个
(B)3个
(C)2个
(D)1个
12、在数轴上和表示-3的点的距离等于5的点所表示的数是(
(A)-8
(B)2
(C)-8和2
(D)1
13、9与-13的绝对值的和是(
(A)22
(B)-4
(C)4
(D)-22
14、数-|-3|的相反数是(
(A)-3
(B)
(C)3
(D)3
15、设a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a+b+c等于
(
)A
-1
B
0
C
1
D
2
二、填空
(1)正数的绝对值是____,负数的绝对值是_____,零的绝对值是_____,绝对值等于1的有理数是____________.
(2)从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______.
(3)49是______的相反数,它是______的绝对值.
(4)|-5|的相反数是________.
(5)如果一个数的绝对值等于那么这个数是___________.
(6)绝对值小于3.14的所有整数是________.
(7)-3的绝对值是_______,绝对值是3的数是________.
(8)一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧,且,则︱a︱=__________.
(9)绝对值最小的数是_____;
最大的负整数是_____.
(10)绝对值小于3的所有自然数是____.
(11)一个有理数的相反数小于原数,这个数是____.
(12)已知︱x︱-︱y︱=2,且y=-4,则x=
____。
(13)已知︱x︱=2,︱y︱=3,则x+y=
(14)已知︱x+1︱与︱y-2︱互为相反数,则︱x︱+︱y︱=
(15) 式子︱x+1︱的最小值是
,这时,x值为____。
三、拓展提高:
1.如果a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,求式子a+b+m-cd的值。
2、.某司机在东西路上开车接送乘客,他早晨从A地出发,(去向东的方向正方向),到晚上送走最后一位客人为止,他一天行驶的的里程记录如下(单位:
㎞)
+10,—5,—15,+30,—20,—16,+14
(1)
若该车每百公里耗油3L,则这车今天共耗油多少升?
(2)
据记录的情况,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在A地的什么方向?
距A地多远?