整式乘除与因式分解综合讲义(方法很细很全)Word文件下载.doc
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凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升(降)幂排列:
按的升幂排列:
按的降幂排列:
5、同底数幂的乘法法则:
(都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
6、幂的乘方法则:
(都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。
幂的乘方法则可以逆用:
即
7、积的乘方法则:
(是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。
(=
8、同底数幂的除法法则:
(都是正整数,且
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
9、零指数和负指数;
,即任何不等于零的数的零次方等于1。
(是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如:
10、单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
如:
11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即(都是单项式)
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。
]
12、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
13、平方差公式:
注意平方差公式展开只有两项
公式特征:
左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
14、完全平方公式:
左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
完全平方公式的口诀:
首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。
15、三项式的完全平方公式:
(课本外补充)
16、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式如:
17、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:
18、因式分解:
(重点)
常用方法:
提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
三、知识点精析:
1.同底数幂、幂的乘方运算:
am·
an=am+n(m,n都是正整数).(am)n=amn(m,n都是正整数).
例题1.若,则a=;
若,则n=.
例题2.若,求的值。
例题3.计算
练习1.若,则=.2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。
2.积的乘方
(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
例题1.计算:
3.乘法公式
平方差公式:
完全平方和公式:
完全平方差公式:
例题1.利用平方差公式计算:
2009×
2007-20082
例题2.利用平方差公式计算:
.
例题3.利用平方差公式计算:
例题4.(a-2b+3c-d)(a+2b-3c-d)
变式练习
1.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少
2.已知求的值
3.已知,求xy
4如果a+b-2a+4b+5=0,求a、b的值
5.试说明两个连续整数的平方差必是奇数
7.一个正方形的边长增加4cm,面积就增加56cm,求原来正方形的边长
4.单项式、多项式的乘除运算
(1)(a-b)(2a+b)(3a2+b2);
(2)[(a-b)(a+b)]2÷
(a2-2ab+b2)-2ab.
(3).已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.
5.因式分解:
(必须理解透)
1.提公因式法:
式子中有公因式时,先提公因式。
例1把分解因式.
分析:
把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按的降幂排列,然后从两组分别提出公因式与,这时另一个因式正好都是,这样可以继续提取公因式.
解:
说明:
用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.
例2把分解因式.
按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.
由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2.公式法:
根据平方差和完全平方公式
例题1分解因式
3.配方法:
例分解因式
这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家尝试一下.
4.十字相乘法:
(1).型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数之积;
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.
因此,运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
例1把下列各式因式分解:
(1)
(2)
(1)
.
(2)
此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.
例2把下列各式因式分解:
此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
例3把下列各式因式分解:
(1)把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项系数.
(2)由换元思想,只要把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.
(2).一般二次三项式型的因式分解
大家知道,.
反过来,就得到:
我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
例4把下列各式因式分解:
(1)
(2)
用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
强化练习
1、已知,,求的值。
2、若x、y互为相反数,且,求x、y的值
提高练习
1.(2x2-4x-10xy)÷
( )=x-1-y.
2.若x+y=8,x2y2=4,则x2+y2=_________.
3.代数式4x2+3mx+9是完全平方式则m=___________.
4.(-a+1)(a+1)(a2+1)等于……………………………………………( )
(A)a4-1(B)a4+1(C)a4+2a2+1(D)1-a4
5.已知a+b=10,ab=24,则a2+b2的值是…………………………………( )
(A)148(B)76(C)58(D)52
6.
(2)(+3y)2-(-3y)2;
(2)(x2-2x-1)(x2+2x-1);
7.已知x+=2,求x2+,x4+的值.
8.已知(a-1)(b-2)-a(b-3)=3,求代数式-ab的值.
9.若(x2+px+q)(x2-2x-3)展开后不含x2,x3项,求p、q的值.
《整式的乘除与因式分解》习题训练
一、逆用幂的运算性质
1..
2.()2002×
(1.5)2003÷
(-1)2004=________。
3.若,则.
4.已知:
,求、的值。
5.已知:
,,则=________。
二、式子变形求值
1.若,,则.
2.已知,,求的值.
3.已知,求的值。
,则=.
5.的结果为.
6.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为_______________。
7.已知:
,,,
求的值。
8.若则
9.已知,求的值。
10.已知,则代数式的值是_______________。
11.已知:
,则_________,_________。
三、式子变形判断三角形的形状
1.已知:
、、是三角形的三边,且满足,则该三角形的形状是_________________________.
2.若三角形的三边长分别为、、,满足,则这个三角形是
3.已知、、是△ABC的三边,且满足关系式,试判断△ABC的形状。
四、分组分解因式
1.分解因式:
a2-1+b2-2ab=_______________。
2.分解因式:
_______________。
五、其他
m2=n+2,n2=m+2(m≠n),求:
m3-2mn+n3的值。
2.计算:
9