②都有f（x1）>f（x2），则称f（x）在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.
注意，若函数f（x）在整个定义域I内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f（x）称单调函数.
2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内是单调递增；
如果，那么函数在这个区间内是单调递减。
▲函数的奇偶性
3．奇偶性概念
如果对于函数f（x）定义域内的任意x，①都有f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数；②都有f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数；③如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。
注意：
函数f（x）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。
5．函数f（x）为奇函数，且在处有定义，则
▲函数的周期性
6．周期性概念
如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数。
T是f（x）的一个周期。
若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期。
（二）学习要点：
▲函数的单调性
1．函数单调性的证明方法
（1）定义法：
①任取；②论证③根据定义，得出结论。
（2）导数法
2．若要证明在区间上不是单调函数，只要举出反例即可。
3．如果知道的单调性，你能说出的单调性的结论吗？
4．复合函数的单调性：
“同增异减”
设复合函数y=f[g（x）],其中u=g（x）,A是y=f[g（x）]定义域的某个区间，B是g（x）的值域
①若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是增函数；
②若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是减函数。
5．奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。
6．运用函数的单调性可以解“含的抽象函数”的不等式。
7．注意“函数f（x）的单调递增（或递减）区间是D”与“函数f（x）在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：
①函数f（x）的单调递增（减）区间是D不等式f’（x）>0（<0）的解集是区间D；
②函数f（x）在区间D内单调递增（减）不等式f’（x）>0（<0）对于x∈D恒成立.
▲函数的奇偶性
8．函数奇偶性的证明方法：
定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。
9．要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f（a）±f（－a）≠0
10．如果知道的奇偶性，你能说出，，的奇偶性的结论吗？
▲函数的周期性
1．f（x+T）=f（x）常常写作。
2．若周期函数f（x）的周期为T，则f（ωx）（ω≠0）是周期函数，且周期为
3．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。
（三）例题讲评
例1．已知函数f（x）=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。
（1）求m,n的值；
（2）试用单调性的定义证明：
在区间上是单调函数.
例2．设f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足,求实数a的取值范围。
例3．判断下列函数的奇偶性：
例4．
（1）是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则的值为
A．B．0C．T D．－
（2）定义在实数集上的函数满足，，
且，则是以为一个周期的周期函数.
（3）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2－x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x－1，
当x∈[－4，0]时，f（x）的表达式为.___________
（四）练习题
一、选择题
1．若函数,则该函数在上是
A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值
2．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f
（2）=0，则使得f（x）<0的x的取值范围是 A．（-¥,2） B．（2,+¥）C．（-¥,-2）（2,+¥） D．（-2,2）
3．给出下列函数：
①，②，③，④，
其中是偶函数的有
A．1个 B．2个C．3个D．4个
4．函数f（x）、f（x+2）均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，设b=f（7.5），c=f（5）,
则a、b、c的大小是
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b
5．若f（x）是奇函数,且在（0,+∞）上是增函数,又，则x·f（x）＜0的解集是
A．{x|3＜x＜0或x＞3 B．{x|x＜3或0＜x＜3C. D.
6．如果f（x）是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，那么下述式子中正确的是 A． B．
C．D．以上关系均不确定
7．是定义在R上，以2为周期的偶函数，时,的表达式为
A．B．C． D．
8．对于函数=1g的奇偶数性，下列判断中正确的是
A．是偶函数B．是奇函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
9．奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x1，则函数f（x1）的图象为
10．设f（x）为奇函数，对任意x∈R，均有f（x+4）=f（x），已知f
（1）=3，则f（3）等于
A．3B．3C．4D．4
11．设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f
（1）＞1，f
（2）＝，则
A．a＜B．a＜且a≠1C．a＞或a＜1D.1＜a＜
12．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是
A．B．C．D．
二、填空题
13．设偶函数f（x）在上为减函数，则不等式f（x）>f（2x+1）的解集是
14．若函数f（x）=4x3－ax+3的单调递减区间是，则实数a的值为.
15．若函数是奇函数，则a=
16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f
（1）+f
（2）+f（3）+f（4）+f（5）=_________.
三、解答题
17．已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）>0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+，讨论F（x）的单调性，并证明你的结论。
18．设函数，
（1）当k为何值时，函数f（x）单调递减区间是（0，4）；
（2）当k为何值时，函数f（x）在（0，4）内单调递减。
19．已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，又知y=f（x）在
［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为－5。
（1）证明：
f
（1）+f（4）=0；
（2）试求y=f（x）在［1，4］上的解析式；
（3）试求y=f（x）在［4，9］上的解析式。
（五）函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案
（三）、例题讲评
例1．解：
（1）由于f（x）图象关于原点对称，则f（x）是奇函数,
由得
例2．∵为R上的偶函数，
∵在区间上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称，
∴在区间（0，+∞）上单调递减，
∴实数a的取值范围是（－4，1）.
例3．
（1）函数定义域为R，
，∴f（x）为偶函数；
（另解）先化简：
，显然为偶函数；
从这可以看出，化简后再解决要容易得多.
（2）须要分两段讨论：
①设
②设
③当x=0时f（x）=0，也满足f（－x）=－f（x）；
由①、②、③知，对x∈R有f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数；
（3），∴函数的定义域为，
∴f（x）=log21=0（x=±1），即f
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