垂线段最短解决最值问题2017Word文档下载推荐.doc

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（注：

桥必须与街道垂直）

（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等?

三、构造三角形，巧用三角形三边关系

1、如图，正方形ABCD中，AB=8，O为AB的中点，P为正方形ABCD外一动点，且AP⊥CP，则线段OP的最大值为（　　）

A.4+4B.2C.4D.6

第1题第2题

2、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．

3、如图，E、F分别是边长为2的正方形ABCD边AD、AB上的两个动点，满足AE+AF=2，BE交CF于点P，在点E、F运动过程中，PA的最小值是多少？

四、巧用辅助圆

1、如图，△ABC中，∠ABC=90°

，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过D作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为________

五、构造函数关系

1、如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.

答案

解答：

法1：

连接BF

法2：

如图，取AC的中点G，连接EG，

∵旋转角为60°

，

∴∠ECD+∠DCF=60°

又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°

∴∠DCF=∠GCE，

∵AD是等边△ABC的对称轴，

∴CD=12BC，

∴CD=CG，

又∵CE旋转到CF，

∴CE=CF，

在△DCF和△GCE中，

CE＝CF∠DCF＝∠GCECD＝CG，

∴△DCF≌△GCE（SAS），

∴DF=EG，

根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，

此时∵∠CAD=12×

60°

=30°

，AG=12AC=12×

6=3，

∴EG=12AG=12×

3=1.5，

∴DF=1.5．

1、

连接AC、BD相交于Q，连接PQ，

∵ABCD是正方形，

∴AQ=CQ，

∵AP⊥CP，

∴PQ=1/2AC=4√2，

∵O为AB中点，

∴OQ=1/2BC=4，

∴OP≤OQ+PQ=4+4√2，

∴当OP过Q时，

OP最大=4+4√2。

2、

3、取BC的中点M，连接AM、PM，构造三角形APM

1、解法两种是过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，

∵∠ABC=90゜，

∴四边形OMBN是矩形，

∴OM∥BC，ON∥AB，

∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，

∴OM：

BC=OA：

AC，ON：

AB=OC：

AC，

∵O为AC的中点，

∴OM=3，

∴MN=5，

由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，

∴EF的最小值为5．

‚是作辅助圆

五、构造函数关系

1、设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，则DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF2=AD2+DF2，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为=5．

解：

设BE=x，则EC=4﹣x，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°

∴∠AEB+∠FEC=90°

而∠AEB+∠BAE=90°

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴=，即=，解得FC=，

∴DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3

当x=2时，DF有最小值3，

∵AF2=AD2+DF2，

∴AF的最小值为=5．