圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)Word文件下载.doc
《圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)Word文件下载.doc(3页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)求证:
点E是边BC的中点;
(2)求证:
BC2=BD·
BA;
(3)当以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形时,求证:
△ABC是等腰直角三角形.
解:
(1)连结OD,∵DE为切线,∴∠EDC+∠ODC=90°
.∵∠ACB=90°
,∴∠ECD+∠OCD=90°
.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,
∴∠EDC=∠ECD,∴ED=EC.∵AC为直径,∴∠ADC=90°
,∴∠BDE+∠EDC=90°
,∠B+∠ECD=90°
,∴∠B=∠BDE,∴ED=EB,∴EB=EC,即点E为边BC的中点
(2)∵AC为直径,∴∠ADC=∠ACB=90°
.又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,∴ABBC=BCBD,∴BC2=BD•BA
(3)当四边形ODEC为正方形时,∠OCD=45°
.∵AC为直径,∴∠ADC=90°
,∴∠CAD=90°
-∠OCD=90°
-45°
=45°
,∴Rt△ABC为等腰直角三角形
类型二:
圆与解直角三角形的综合
3.如图,在△ABC中,以AC为直径作⊙O交BC于点D,交AB于点G,且D是BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,交AC的延长线于点F.
直线EF是⊙O的切线;
(2)已知CF=5,cosA=25,求BE的长.
(1)连结OD.∵CD=DB,CO=OA,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AB,AB=2OD.∵DE⊥AB,∴DE⊥OD,即OD⊥EF,∴直线EF是⊙O的切线
(2)∵OD∥AB,∴∠COD=∠A,∴cos∠COD=cosA=25.在Rt△DOF中,∵∠ODF=90°
,∴cos∠FOD=ODOF=25.设⊙O的半径为r,则rr+5=25,解得r=103,∴AB=2OD=AC=203.在Rt△AEF中,∵∠AEF=90°
,∴cosA=AEAF=AE5+203=25,∴AE=143,∴BE=AB-AE=203-143=2
4.(2015·
资阳)如图,在△ABC中,BC是以AB为直径的⊙O的切线,且⊙O与AC相交于点D,E为BC的中点,连结DE.
DE是⊙O的切线;
(2)连结AE,若∠C=45°
,求sin∠CAE的值.
(1)连结OD,BD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.∵AB是直径,∴∠ADB=90°
,∴∠CDB=90°
.∵E为BC的中点,∴DE=BE,∴∠EDB=∠EBD,∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD,即∠EDO=∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBO=90°
,∴∠ODE=90°
,∴DE是⊙O的切线
(2)过点E作EF⊥CD于点F,设EF=x,∵∠C=45°
,∴△CEF,△ABC都是等腰直角三角形,∴CF=EF=x,∴BE=CE=2x,∴AB=BC=22x.在Rt△ABE中,AE=AB2+BE2=10x,∴sin∠CAE=EFAE=1010
5.如图,△ABC内接于⊙O,直径BD交AC于点E,过点O作FG⊥AB,交AC于点F,交AB于点H,交⊙O于点G.
OF·
DE=OE·
2OH;
(2)若⊙O的半径为12,且OE∶OF∶OD=2∶3∶6,求阴影部分的面积.(结果保留根号)
(1)∵BD是直径,∴∠DAB=90°
.∵FG⊥AB,∴DA∥FO,∴△FOE∽△ADE,∴FOAD=OEDE,即OF•DE=OE•AD.∵O是BD的中点,DA∥OH,∴AD=2OH,∴OF•DE=OE•2OH
(2)∵⊙O的半径为12,且OE∶OF∶OD=2∶3∶6,∴OE=4,ED=8,OF=6,∴OH=6.在Rt△OBH中,OB=2OH,∴∠OBH=30°
,∴∠BOH=60°
,∴BH=BO•sin60°
=12×
32=63,∴S阴影=S扇形GOB-S△OHB=60×
π×
122360-12×
6×
63=24π-183
类型三:
圆与二次函数的综合
6.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0,2),过点C作圆的切线交x轴于点D.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:
是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?
若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由.
(1)y=-12x2-32x+2
(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(-32,0),∴O′C=52,O′O=32.∵CD为圆O′的切线,∴O′C⊥CD,∴∠O′CO+∠DCO=90°
.又∵∠CO′O+∠O′CO=90°
,∴∠CO′O=∠DCO,∴△O′CO∽△CDO,∴O′OOC=OCOD,∴322=2OD,∴OD=83,∴点D的坐标为(83,0)
(3)存在.抛物线的对称轴为直线x=-32,设满足条件的圆的半径为|r|,则点E的坐标为(-32+r,r)或F(-32-r,r),而点E在抛物线y=-12x2-32x+2上,∴r=-12(-32+|r|)2-32(-32+|r|)+2,∴r1=-1+292,r2=-1-292(舍去).故存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切,该圆的半径为-1+292
7.如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,经过A,B,C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D,抛物线的顶点为E.
(1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α-β)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P,A,C为顶点的三角形与△BCE相似?
若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由题意,可知C(0,-3),-b2a=1,∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3(a>0).过点M作MN⊥y轴于点N,连结CM,则MN=1,CM=5,∴CN=2,于是m=-1.同理,可求得B(3,0),∴a×
32-2a×
3-3=0,解得a=1.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3
(2)由
(1)得,A(-1,0),E(1,-4),D(0,1),∴△BCE为直角三角形,BC=32,CE=2,∴OBOD=31=3,BCCE=322=3,∴OBOD=BCCE,即OBBC=ODCE,∴Rt△BOD∽Rt△BCE,得∠CBE=∠OBD=β,因此sin(α-β)=sin(∠DBC-∠OBD)=sin∠OBC=COBC=22
(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE,此时点O(0,0).过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2,由Rt△CAP2∽Rt△BCE,得P2(0,13).过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3,由Rt△P3CA∽Rt△BCE,得P3(9,0).故在坐标轴上存在三个点P1(0,0),P2(0,13),P3(9,0),使得以P,A,C为顶点的三角形与△BCE相似
-3-