初一奥赛培训08:不等式的应用Word文件下载.doc
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B,C两校共20名;
C,D两校共34名,并且各校选手人数的多少是按A,B,C,D中学的顺序选派的,试求各中学的选手人数.
12、•=7850,其中表示十位数是x,个位数是5的两位数;
表示百位数是3,十位数是y,个位数是z的三位数,试确定x,y,z.
13、如果a<b<c,并且x<y<z,那么在四个代数式
(1)ax+by+cz;
(2)ax+bz+cy;
(3)ay+bx+cz;
(4)az+bx+cy
中哪一个的值最大?
14、若不等式10(x+4)+x<62的正整数解是方程2(a+x)﹣3x=a+1的解,求的值.
15、已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|,求y的最大值 _________ .
16、已知x,y,z都为自然数,且x<y,当x+y=1998,z﹣x=2000时,求x+y+z的最大值 _________ .
17、若x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:
x>0,y>0,z>0.
18、只有两个正整数介于分数与之间,则正整数n的所以可能值之和是多少?
答案与评分标准初一奥赛培训08:
一、解答题(共18小题,满分150分)
考点:
不等式的性质。
专题:
推理填空题。
分析:
分析用作差法比较大小,即若a﹣b>0,则a>b;
若a﹣b<0,则a<b.先由已知条件,利用不等式的性质,可得1﹣y>1>0,1+y>0,y﹣1<﹣1<0,再分三种情况讨论:
x﹣xy,xy2﹣xy,x﹣xy2.计算时,提取每个式子的公因式,再根据同号得正,异号得负的知识,确定和0的关系,最终可得三个式子的大小关系.
解答:
解:
若a﹣b<0,则a<b.
∵x<0,﹣1<y<0,
∴1﹣y>1>0,1+y>0,y﹣1<﹣1<0,
又∵x﹣xy=x(1﹣y),
∴x(1﹣y)<0,则x<xy,
∵xy2﹣xy=xy(y﹣1)<0,∴xy2<xy,
∵x﹣xy2=x(1+y)(1﹣y)<0,∴x<xy2,
综上有x<xy2<xy.
点评:
不等式的性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
也利用了同号得正,异号得负的知识.
一元一次不等式的应用。
运用未知数x,y表示出A,B,然后根据x,y的取值,得出A,B的大小关系.
设A=,则B=
∴A﹣B=﹣==
显然,2x>y,y>0,所以2x﹣y>0,所以A﹣B>0,A>B.
此题主要考查了不等式的应用,以及结合未知数的范围,确定代数式的取值问题.
解一元一次不等式组。
计算题。
先观察不等式组中各个不等式的特点,分别在①②③中加上c,a,b,即可求得a,b,c的大小关系.
①+c得
c<a+b+c<3c,④
②+a得
,⑤
③+b得
,⑥
由④,⑤得
,
∴c<,
所以c<a.
同理,由④,⑥得b<C.
所以a,b,c的大小关系为b<c<a.
本题考查了不等式组的解法,以及不等式的基本性质的综合运用.
解一元一次不等式组;
一元一次方程的解。
综合题。
先求出方程的解,把问题转化为求不等式
(1)x>0,
(2)x<0,(3)x≤1的解集问题.
将原方程变形为(3+k)x=2.
(1)当3+k>0,即k>﹣3时,方程有正数解.
(2)当3+k<0,即k<﹣3时,方程有负数解.
(3)当方程解不大于1时,有≤1(k≠﹣3),
∴1﹣=≥0.
所以1+k,3+k应同号,即
或
解得或
得解为k≥﹣1或k<﹣3.
注意由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的.
本题是考查解一元一次不等式与方程综合性的题目,是常见的考点之一.
解一元一次不等式;
绝对值。
首先解一元一次不等式,解题时要注意系数化一时:
系数是﹣11,不等号的方向要改变.在去绝对值符号时注意:
当a为正时,|a|=a;
当a为0时,|a|=0;
当a为负时,|a|=﹣a.
去分母得:
2(2x﹣1)﹣6≥6x﹣3(5﹣3x)
去括号得:
4x﹣2﹣6≥6x﹣15+9x
移项得:
4x﹣6x﹣9x≥﹣15+2+6
合并同类项得:
﹣11x≥﹣7
∴解不等式组得X
(1)当﹣3时|x﹣1|﹣|x+3|=﹣(2+2x)当x=时有最小值﹣;
(2)当X<﹣3时|x﹣1|﹣|x+3|=1﹣x+x+3=4(最大值).
此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质.解题时要注意一元一次不等式的求解步骤,绝对值的性质.
一元一次不等式组的应用。
将x+y+z=30,3x+y﹣z=50联立,得到y和z的关于x的表达式,再根据y,z为非负实数,列出关于x的不等式组,求出x的取值范围,再将u转化为关于x的表达式,将x的最大值和最小值代入解析式即可得到u的最大值和最小值.
将已知的两个等式联立成方程组,
所以①+②得,
4x+2y=80,y=40﹣2x.
将y=40﹣2x代入①可解得,
z=x﹣10.
因为y,z均为非负实数,
所以,
解得10≤x≤20.
于是,
u=5x+4y+2z=5x+4(40﹣2x)+2(x﹣10)
=﹣x+140.
当x值增大时,u的值减小;
当x值减小时,u的值增大.
故当x=10时,u有最大值130;
当x=20时,u有最小值120.
此题考查了一次函数最值的求法,将y、z的转化为关于x的表达式及求出x的表达式是解题的关键.
7、设a,b,c,d均为整数,且关于x的四个方程(a﹣2b)x=1,(b﹣3c)x=1,(c﹣4d)x=1,x+100=d的根都是正数,试求a可能取得的最小值是多少?
一元一次不等式的应用;
方程(a﹣2b)x=1由于x是正数,1>0所以a﹣2b>0.又因为a,b均为整数所以a﹣2b的值最小是1,即a﹣2b≥1,a≥2b+1
b、c、d值的推导与a相同,即b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101
再根据不等式的性质d≥101,则c≥4d+1≥4×
101+1=405
同样的道理b≥3c+1≥3×
405+1=1216
a≥2b+1≥2×
1216+1=2433
至此,问题解决.
由已知(a﹣2b)x=1,且根x>0,所以a﹣2b>0
又因为a,b均为整数,所以a﹣2b也为整数
所以a﹣2b≥1,即a≥2b+1.
同理可得,b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3
≥6(4d+1)+3=24d+9≥24×
101+9=2433,
故a可能取得的最小值为2433.
答:
a可能取得最小值是2433
本题关键是对不等式与一元一次方程含义的理解,不等式也具有传导性(a≥b≥c,则a≥c).
8、设p,q均为自然数,且,当q最小时求pq的值.
数的整除性问题。
作图题。
根据不等式的性质,由已知的不等式化到整数的不等式,因为p,q为整数,代入数讨论可得答案.
由已知<<
所以q<p<q
所以21q<30p<22q.
因为p,q都为自然数,所以当q分别等于1,2,3,4,5,6时,无适当的p值使21q<30p<22q成立.当q=7时,147<30p<154,取p=5可使该不等式成立.所以q最小为7,此时p=5.于是pq=5×
7=35.
本题考查整数的整除性和不等式结合的题目,关键是讨论p,q的取值得解.
9、已知:
证明题。
根据不等式的性质得出2b<a+1,1+a<2a,根据不等式的传递性从而得出结论.
证明:
因为b<c,所以2b<b+c,
由b+c<a+1,得2b<a+1,
由1<a,得1+a<2a,
所以2b<1+a<2a,
∴b<a成立.
本题考查了不等式的性质,要学会充分利用不等式的基本性质,按照一定的逻辑顺序来展开推理论证.
10、若自然是x<y<z,a为整数,且,试求x,y,z.
计算题;
分类讨论。
可先设x≥1,y≥2,z≥3,根据,a为整数,当x=1时进行分析看是否符合;
然后令x≥3时,进行分析,看看是否符合题意;
最后令x=2,进行分析,看看是否符合题意,从而得到结果.
分析由题设可知x≥1,y≥2,z≥3,所以
0≤a=++=
又因a是整数,故a=1.若x=1,则1++=1,+=0,与题意不符,所以x≠1.
又x≥3时,a=++≤++=<1,也不成立,故x只能为2.
当x=2,+=1﹣=.
令y=3,则z=6.
当x=2,y≥4时,+=1﹣=
当x=2,y=4时,+=+=<,不成立.
故本题只有一组解,即x=2,y=3,z=6.
x=2,y=3,z=6.
解决本题的关键是将等式转化为不等式,然后进行分类讨论.
三元一次方程组的应用。
应用题。
首先假设A,B,C,D四校的选手人数分别为x,y,z,u,根据选手中A,B两校共16名;
C,D两校共34名.列出方程组,通过上面方程组以及题目各校选手人数的多少是按A,B,C,D中学的顺序选派的,得到x<y<z<u.进而判断出y的取值,根据方程组依次得到x、z、u的值.
设A,B,C,D四校的选手人数分别为x,y,z,u.据题意有
由①,②可知,x+y<y+z,